POLYGONES SEMBLABLES

définition (n° 253) ; d’où il résulte que ces côtés, pris deux à Fig- aia

, , . . , et ai 3.

deux , forment une suite de rapports égaux.

2° Les angles correspondans des deux polygones ne sont aussi que des angles homologues ou des sommes d’angles homologues de triangles semblables ; d’où il résulte que ces angles sont égaux.

A. B. — Cette démonstration ne suppose pas que les triangles dans lesquels les polygones sont décomposés, aient, dans chaque polygone , un sommet commun : il est facile de voir qu’elle s’applique également à toute autre décomposition.

N° 267. Théorème VIII. Fig. 212.

Réciproquement : — Deux polygones sont semblables lors- Fig.aia. que leurs côtés , pris dans le meme ordre , sont proportionnels et comprennent entre eux des angles égaux chacun à chacun.

Par les sommets A et A', par exemple, menons des diagonales. Nous aurons d’abord deux triangles, ABC, A'B'C', semblables entre eux comme ayant un angle égal, B=B', compris entre des côtés proportionnels (n° 263).

•De là il résulte que le rapport des diagonales AC, A'C', est le meme que celui des côtés correspondans, et que les angles ACD, A'C D', sont égaux comme différences d’angles égaux chacun à chacun.

Par suite, les triangles ACD, A'C'l)', sont aussi semblables comme ayant un angle égal, ACD = A'C'D/, compris entre des côtés proportionnels.

Et ainsi de tous les triangles formés autour du point A.

Donc les deux polygones sont semblables (n° a53).

Corollaire. — Deux polygones sont semblables lorsque leurs côtés, pris dans le même ordre , sont proportionnels , parallèles , et dirigés dans If meme sens ou en sen t contraire , chacun à chacun :

6ar alors ils ont en même temps les angles égaux.

ao6 liv, ii ; chap. i ; § r. —

W° a68. Remarque sur la proportionnalité des lignes homologues. — On peut démontrer, par des raisonnement analogues à ceux que l’on a employés pour la démonstration du théorème vu (n° a66) , que

Les lignes homologues de deux polygones semblables sont proportionnelles aux côtés homologues , font avec les côtés homologues des angles égaux, et partagent les polygones proposés en -d’autres polygones semblables / — et réciproquement, etc.

Ainsi , par exemple , • ;i' '

Les rayons et les apothèmes des polygones réguliers de même espèce [c’est-à-dire d’un même nombre de côtés], sont proportionnels à leurs côtés.

De même,

Les hauteurs correspondantes de deux triangles semblables sont proportionnelles à leurs côtés homologues .

De même encore [par la propriété des rapports égaux (voyez l’ Arithmétique)},

Les périmètres de deux polygones semblables sont proportionnels à leurs côtés homologues [et plus généralement à leurs lignes homologues].

Et par suite — I.es périmètres de deux polygones réguliers de meme espèce, sont proportionnels à leurs côtés , à leurs rayons, et à leurs apothèmes.

Enfin , il résulte de la remarque générale qui précède, que les triangles et les polygones qui satisfont aux conditions strictement nécessaires de la similitude , ou à sa définition géométrique, sont semblables dans toute l’étendue du sens vulgaire de ce mot {voyez le n° 25 1 ).

N° 269. Remarque sur le nombre des conditions essentiellement nécessaires à la similitude. — La réciproque démontrée au numéro 267 contient trop de conditions, puisqu’il suffit généralement de (an — 3) données pour déterminer un polygone (n° aa3).