le rayon du cercle circonsuit

1S7. — le riyon du cercle inscrit.

^428. Lm rayons de deux cercles sont 5" et 6*; la dislance de leurs centres est 8*. Calculer la longueur de la corde commune, puis la plus petite et la plus longue distance des deux circonférences 9ur la ligne des centres.

DBS POLIGONES REGULIERS.

■•" 1 70. DÉFINITION. On appelle polygone régulier, un polygone qui a ses côtés égaux et ses angles égaux.

En divisant une circonférence en un certain nombre de parties égales, et en joignant ensuite les points de division consécutifs par des droites, on obtient un polygone régulier; car ce polygone a évidemment ses côtés égaux et ses angles égaux. II existe donc des polygones réguliers d*un nombre de côtés quelconque.

On dit qu'un polygone est inscrit dans un cercle quand tous ses sommets sont situés sur la circonférence. Réciproquement, on dit alors que le cercle est circonscrit au polygone.

On dit qu^un polygone est circonscrit à un cercle quand tous ses côtés sont tangents à la circonférence. Réciproquement, on dit alors que le cercle est inscrit dans le polygone.

Tbéorènie.

171. Tout polygone régulier peut être inscrit ou circonscrit à Un cercle.

Soit ABCDEF un polygone régulier quelconque. Par trois sommets consécutifs A, B*, C^ je fais passer une circonférence; pour cela il suflSt d'élever aux points I et H, milieux de AB et de BC, des perpendiculaires qui se coupent en un point 0^ puis de décrire une circonférence E de 0, comme centre avec le rayon OA. Cette circonférence passe par les points A, B, C; je. dis qu'elle passe

aussi par le point D, et par tous les autres sommets du polygone.

Pour le démontrer, jo tire CD, puis je fais tourner le quadrilatère OlICD, autour de OH comme charnière, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le quadrilatère OHBA. Les angles en H étant égaux comme droits, le côté HC s'applique sur HB, et comme HC=HB, le point C tombe en B; mais alors, l'angle HCD étant égal à HBA, puisque le polygone est régulier, la ligne CD s'applique sur BA, et comme CD = BA, le point D tombe en A; comme d'ailleurs le poin| n'a pas bougé, il se trouve que OD coïncide ^xactement\avcc OA; OD étant égal à OA, la circonférence décrite de u comme centre avec le rayon OA passe par le point D. En la considérant comme passant par B, C, D, on prouve de môme qu'elle passe en E; et ainsi de suite. Cette circonférence passe donc par tous les sommets du polygone; elle est circonscrite au polygone.

C'est la seule qu'on puisse lui circonscrire, puisque le polygone a au moins trois sommets, et que, par trois points non en ligne droite, ou ne peut faire passer qu'une circonférence. 2« On peut inscrire une circonférence dans le polygone. En effet, les côtés AB, BG, CD,... du polygone, qui sont des

cordes égales du cercle OA, sont également distants du centre 0; OI=:OH=OP, etc. Une circonférence décrite du point comme centre avec un rayon égal à OH, passera donc par les points I, H, P;... et de plus sera tangente aux côtés du polygone, puisque ceux-ci sont • perpendiculaires à ces rayons 01, OH, etc. Cette circonférence sera donc inscrite dans le polygone.

On ne peat inscrire que cette circonférenco.

Eli effet, le centre de toute^circonférence inscrite devant être également distant des côtés AB, BC, du polygone, devra se trouver sur la bissectrice de Tangie ABC (48); ce même centre devant être également distant des côtés BG, CD, se trouve aussi sur la bissectrice de l'angle BCD ; ce centre doit donc se trouver à ia rencontre des deux bissectrices. Geiles-ci n'ayant qu'an point commun, il n'y a qu'un centre 0, qu'un rayon 01, et par suite qu'une seule circonférence inscrite.

'Remarque, Le centre de la circonférence circonscrite et le centre