LIVRE III

de la circonférence inscrite à un polygone régulier sont un seul et même point 0; ce point s'appelle le centre du polygone.

Les lignes qui vont du centre à tous les sommets du polygone sont les bissectrices de ses angles.

172. Chacun des angles ÂOB, BOG^ etc., est dit un angle au centre du polygone; tous ces angles sont égaux.

Il y a autant de ces angles au centre que de côtés dans le polygone, et leur somme est égale à 4 droits; chacun d'eux est donc égal à 4 angles droits^ ou à 360 degrés, divisés par le nombre des

4droit8

côtés du polygone, . S'il s'agit par exemple d'un hexagone

^droits 2

régulier, l'angle au centre est égal à — ^— = - d'angle droit.

Réciproquement, connaissant la valeur d'un angle au centre, on peut en condure le nombre des côtés du polygone. Ex. : l'angle au centre d'un polygone régulier est de 45*>; quel est le nombre de ses côtés? 4 droitsrriSCO**; on

écrira = 45»; — =45; doù 360=45» et «= -rr =8.

Tltéorème.

-f- 175. Le rapport des périmètres de dettx polygones réguliers d'un même nombre de côtés est le même que celui des rayons des cercles circonscrits ou des cercles inscrits.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de deux octogones réguliers ayant pour côtés AB, A'B\ et pour centres et 0'. Les périmètres P et P' valent respectivement 8AB et 8A'B'.

Menons les rayons des cercles circonscrits OA, C'A', OB, O'B' eC les rayons des cercles o inscrits 01, 01'. Les angles au centré AOB,

A'CB' valent chacun un huitième de 4 droits (n*" 172) ; ils sont donc égauiiil en est de même de leurs moitiés AGI, A'OT; les triangles rectangles OAJ, O^AT sont donc équiangles et semblables,