LIVRE m. il
Si le rayon est Tunité linéaire, si R = 1, c= v^.
Connaissant la valeur de R, on aura celle de c en évaluant s/^ avec une approximation plus ou moins grande, et en multipliant la valeur de R par le résultat.
Le côté du carré inscrit et le rayon n'ont pas de commune mesure.
Problème.
"f*" 4 77. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle donné. A l'aide d'un compas, on inscrit consécutivement six cordes
^ j ^ AB, BC, CD,... égales au rayon; on revient ainsi
// \\ au point de départ, et ABCDEF est un hexagone
On est conduit à cette construction par le raisonnement qui suit :
Supposons le problème résolu, et soit AB le côté de l'hexagone régulier inscrit : menons les rayons AO, OB.
^droits (2
L'angle au centre AOB = — —-=- droit; la somme des autres
2 4 angles A et B du triangle isocèle AOB vaut 2 droits — -=-de
droit. Ces deux angles étant égaux, chacun d'eux vaut - de droit
comme Tangle 0; A = B = 0. Le triangle AOB est équianglc, et par suite équilatéral; AB = AO. C. Q. F, D.
Le côté de V hexagone régulier inscrit dans une cercle est égal au rayon ; c=R.
178. Triangle équilatéral. Pour inscrire un triangle équilatéral,
on marque sur la circonférence les extrémités de six cordes égales au rayon; mais on ne joint les points marqués que de 2 en 2; on trace AC, CE, EA; on obtient ainsi un triangle équilatéral ACE.
En effet, Tare AB = BG = - de la circonf^
2 1 renée; donc l'arc ABC =- = - de la circonférence,
De la valeur numérique du rayon on déduit aisément la longueur du c6lé du triangle équiiatéral inscrit : AC = R^.
Pour le démontrer^ on mène OA^ OB, OC, AB, BC. La figure OABG est un losange; ses diagonales OB^ AC, se coupent donc en deux pallies égales et à angles droits. Le triangle AOI étant rectangle, ÂÔ* = (jr + Xï*; c'est-à-dire ^*=(?)*+(^)* ^"
R* Ai?
= --- + -T- . Multipliant de part et d'autre par 4, on trouve
4R« = R«-f AG*; d'où enfin AG*= 3R« et AC = Rv/3. A^ - ^^1 On obtient la valeur numérique du côté du triangle équiiatéral p^
inscrit en multipliant la valeur du rayon par ^.
On évalue v^3 en décimales avec l'approximation que comporte
la question. Si R = i, AC==v^3. Le côté du triangle équiiatéral inscrit et le rayon n*ont pas de commune mesure.
Problème.
178 hit. Inscrire un décagone régulier dans un eerele.
Supposons le problème résolu et soit ÂB le côté du décagone réguUer Inscrit
AdroiU 2
L'angle au centre =---— ^--dr. Les deux angles à la
lU 5
base, Â et B, du triangle isocèle OAB, Talent ensemble 2^—
AOB = 2'^" - - dr.= - dr. ; donc A=B=- dr . L'angle OBA
ou O
est double de 0. Je divise cet angle B en deux parUes égales
par la ligne Bl; Tangle OBI=0 et le triangle OIE est iso-
cèle ; 01= IB. Dans le triangle AlB, nous avons l'angle ABI=-dr., lAB =7df .;
doncAlBsrî*"— -dr.=-dr.=;;A; le triangle AlB est isocèle et AB=IBi
donc AB=0]. Cela posé, observons que BI étant la bissectrice de l'angle B du
triangle AOB, on a (n» 140} légalité ^S "= H * ^"^ '®^^®°* * ^ "^ S ' * cause dp 00 = OA et de AB = OI. La ligne 01, égale au côté AB du décagone régulier inscrit, est donc le P'us grand segment du rayon OA divisé en moyenne et extrême raison.
Pour inscrire un déC^O^^^ régulier dans un cercle, il suffit de diviser le
