LIVRE III
rayon en moyenne et extrême raison, puis de fforter le plus grand segment ÏÏix fois sur la circonférence; on revient au point de déport.
Ayant inscrit le décagone régulier, si l'on joint ses sommets de deux en deux, on obtient le pentagone régulier inscrit. On construit aisément les polygones Inscrits de 20, de 40, de 80... côtes (V. n» 180).
Problème.
ft 99. Un polygone régulier étant inscrit dans une circonférence, circonscrire tsn polygone régulier semblable.
On mène un rayon 01 perpendiculaire à chaque côté du polygone inscrit^ et à
l'extrémité 1 de chaque rayon, une tangente à la circonférence; les tangentes ainsi menées forment un polygone régulier circonscrit semblable au polygone inscrit donné.
En effet, d'abord les angles du polygone circonscrit sont égaux à ceux du polygone Inscrit; car, comparés deux à deux, ces angles ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens. Ex. : BÂG, DGF.
En second lieu, les côtés homologues des deux polygones sont proportionnels ; pour le démontrer, nous allons faire voir d*abord que les sommets des deux polygones sont deux à deux en ligne droite avec le centre de la circonférence; par exemple, 0, A, G sont en ligne droite. En effet, les deux triangles rectangles QIC, OUC ont l'hypoténuse OC commune, les c^tés 01, OH égaux comme rayons. Ces deux triangles étant égaux, l'angle G01=C0H; la ligne CO divise Tangle lOH en deux parties égales; elle doit donc passer au milieu A de Tare IH qui mesure lOH; les points 0, A, C sont donc en ligne droite. Cela posé, les deux triangles AOB, COD sont semblables (équiangles) et
donnent ^Ttr = 7r;7; de môme les triangles semblables OAG, OCF donnent OU Ut*
7— : = --; de ces deux égalités résulte celle-ci : tt^t = rrr;. On trouverait de CF OL CiD dr
même -77:= ttî^; otc. Les deux polygones sont équiangles et ont les côtés
homologues proportionnels; ils sont donc semblables. Le polygone inscrit est régulier; Tautre Test aussi.
On peut donc circonscrire à une circonférence tous les polygones réguliers qu'on y sait inscrire.
Problème.
180» Un polygone régulier étant inscrit^ inscrire un polygone régulier d'un nombre double de côtés.
couBS i:e géo^iétrie.
On divise en deux parties égales chacun des arcs sous-tendus par les côtés du polygone donné; puis on joint chaque point de division aux deux sommets voisins.
Un carré ABCD étant inscrit dans un cercle^ on obtient par
cette construction Toctogone inscrit; puis successivement les polygones de 46, de 3% de
64 côtés.
Ayant inscrit un hexagone régulier, on peut obtenir successivement les polygones inscrits de 12, de 24, de 48 côtés.
Tliéorèiiic.
litl. Connaissant la valeur numérique du côté d'un polygwe régulier inscrit et le rayon du cercle^ calculer le côté du polygmre régulier inscrit d'un nombre de côtés double. Soit AB le côté d'un polygone régulier inscrit; abaissons la perpendiculaire OC, et tirons AG; AC est le côté du x.,i?-Tp^ polygone inscrit d'un nombre de côtés double. Dé- \l \ signons pîir c la valeur numérique de AB, par R celle du rayon, et par c' celle de A G.
Dans le triangle acutangle ACO, on a (n® 156) :
AG = AO' + OG — 20C X 01, ou c'^ = 2R* — 2R X 01 ;
mais
donc
CPU
UVRB m. 121
RAPPOUT DB la CIRCONFÉRENCR au DIAHàlRB. — MESURE
