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Le rapport d'une circonférence à son diamètre est le même que celui d'une autre circonférence quelconque à son diamètre. Notre proposition est donc démontrée.

Le rapport constant de la circonférence au diamètre se désigne habituellement par la lettre grecque tc. Ce nombre ne peut élre évalué que par approximation; mais on peut l'obtenir avec autant d'approximation qu'on veut; c'est ce qu'on appelle un nombre inconimensurabie. 11 y a diverses manières d'en obtenir une valeur approchée.

CALCUL DE ic.

l" MÉTHODE.

cire 184. ic = — -^. Quand D=J, ic=circ.; c'est-à-dire queic

n'est autre que le nombre qui exprime la circonféi'ence dont le diamètre est l'unité linéaire. Trouver t: revient donc à trouver la longueur de la circonférence dont le diamètre est i .

Or on sait que le périmètre d'un polygone régulier diffère d'autant moins de la circonférence circonscrite que le nombre de ses côtés est plus grand, et peut en différer d'aussi peu que l'on veut On aura donc une valeur aussi approchée que Ton voudra de «

LivitË 111. 123

quand on saura mesurer le périmètre d'un polygone régulier d*un nombre de côtés aussi grand que l'on voudra, inscrit dans la eir* conférence dont le diamètre est égal à l'unité. Pour y arriver on résout ce problème.

Étant donné le périmètre P d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans la circonférence de diamètre égal à l'unité , trouver là périmètre F du polygone régulier inscrit de 2n côtés.

Pour cela^ on se sert de la formule trouvée n« 181

Si nous supposons que le diamètre 2R de la circonférence donnée soit égal à l'unité^ ou R = i/2, la formule devient

Hnltiplions les deux membres de cette égalité par 4n% en obsernnt que pour multiplier le second membre par 4n', il sufiit de multiplier le premier facteur par An et le second par n :

mais ne = P,

Donc enfin P'* = 2n(n — yjn^—^). (a)

Uusage de cette formule est facile à comprendre. En générai^ le c6lé du carré inscrit dans une circonférence est représenté par

Ryi. Si nous supposons le diamètre égal à l'unité, nous aurons R = -; le côté du carré sera -v^ et son périmètre 2 v^. Cela

\, si dans la formule P'*=2n(n — v^n^ — P*), établie précédemment, nous faisons n=4 et P = 2v^= 2,8284 , F y représentera le périmètre de Toctogune régulier inscrit dans la cir-

î conférence de diamètre égal à i, et la formule nous permettra de

•calculer la valeur de ce périmètre.

^ Le périmètre de l'octogone régulier une fois calculé, si dans la

>;lnéQjc formule (a) nous faisons n = 8, P' y représentera le péri-

12A COURS DE GÊOMÉTUIE.

mètre d6 l'octoKone réfirulier inscrit que Ton vient de calculer e i qu'on remplacera par sa valeur, et P sera le périmètre du poly gone régulier de 16 côtés, dont la formule donnera la valeur.

On passera du polygone de 16 côtés au polygone de 32 côtéi comme on a passé du polygone de8 côtés au polygone de 16 côtés, et ainsi de suite. La fornude (a) permet donc de calculer, de proche en procli^, les périmètres des polygones réguliers de 8, de 16, de 3% de 64-... côtés, c'est-à-dire finalement le périmètre d'un polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés aussi grand que l'on veut Cette formule résout donc le problème de la détermination de «.

Rbuarqub. Nous avons supposé dans ce qui précède que l'on partait du polygone régulier de 4 côtés pour calculer successivement les périmètres des polygones de 8, de 16, de 32, de 64....» côtés. On pourrait tout aussi bien partir de Thcxagone régulier

inscrit, dont le côté, dans notre hypothèse du diamètre égal à

l'unité, est représentée par 5, et le périmètre par 3; la formule

permettrait alors de calculer, de proche en proche, les périmètres des polygones réguliers de 12, de 24, de 48, de 96.. • côtés, inscrits dans la circonférence en question. On obtiendrait encore de cette manière la valeur de it avec une approximation indéfinie. Voici cette valeur à moins de 0,60000000000001,

Archimède, en partant de l'hexagone et allant jusqu'au poly-

gone de 96 côtés, a trouvé — pour valeur approchée de «. Celte

fraction très-simple exprime la valeur de ir avec une erreur absolue moindre que 0,0013..., et une erreur relative moindre qu'un demi-

millième.— = 3,1428...

Adrien Mélius a trouvé 7^. Cette fraction réduite en décimales , 113

équivaut à 3,141 5920.. . , elle ne diffère de la vraie valeur de r. qu'à

la 7* décimale : l'erreur relative est moindre que 0,0000002.

Dans les applications, on se sert habituellement du rapport

exprimé en décimales. On prend très-souvent 7r = 3,1416. (V. lo

Complément.)