CALCUL DB IC PAR LA METHODE DES ISOFKRISIETRES

cire II 185, Pour trouver le nombre 7:= — -5—, nous avons, en expli-

' quant une première méthode, donné au diamètre une valeur numérique très-simple, D = l, et nous avons calculé une valeur approchée de la circonférence qui a ce diamètre. On peut faire le contraire : donner à la circonférence une valeur numérique également très-simple, par ex. cire. R = 4, et chercher la valeur du diamètre ou du rayon de cette circonférence. On trouve alors le rayon à l'aide de deux formules que nous allons d'abord établir.

Problème.

i 86. Connaissant V apothème d'un polygone régulier et le rayon du cercle circonscrit, calculer le rayon du cercle circonscrit et l'apothème d'un polygone isopérimètre {de même périmètre) d'un nombre de côtés double. Soient A0 = R, OH = r le rayon du cercle circonscrit et l'apothème donnés d'un polygone régulier dont le côté estAB. Ayant tracé la circonférence circonscrite, je prolonge l'apothème HO jusqu'à cette circonférence en C, et je trace AG et CB. Je mène OD, OE, perpendiculaires à ces cordes, et je trace DE. L'angle DCE est la moitié de AOB, et DE est

la moitié de AB. Si Tangle AOB = ^^ , l'angle DCE = \-\ si

AB est le côté d'un polygone régulier de n côtés, DE est le côté d'un polygone isopérimètre de ^In côtés (AB = 2DE; donc n.AB = 2n.DE). DCE est l'angle au centre de ce polygone; CD =11' le rayon du cercle cireonscrit, et CI = r'son apothème, b' problème à résoudre revient donc à ceci : Étant donnés AU=R et OH =r, trouver CD=R' et Cl=r'.

On a d'abord CI =icH =|(COH-OH) = V2(R + r).

C'est-à-dire r' = - (R + r) ( 1 ) ( l '• formule) .

Dans le triangle rectangle CDO, on a CD =COxCI, ou a'2= R X r'.

D'où R'=s/Rxr'=: WR x ^-^ (2) (r formule).

187. Calcul db ir. Nous allons maintenant expliquer l'emploi de ces formules pour le calcul de ic.

On assigne à la circonférence une valeur numérique très-simple, par ex. cire. = 4, et on se propose de trouver le rayon de celle circonférence. .

Pour cela, on considère d'abord un carré ayant le périmètre 4, ou un côté égal à i, et on calcule son apothème 01 et le rayon du cercle circonscrit OA (fig. suivante). L'apothème r est égal à 1/2

JL v^2 / et le rayon OA = /^ = — . I On sait que pour le carré

C = Rv^; d'où ^ = 7^ = -y ) • ^" évalue V, ^ en décimales.

Cela fait, on se sert des formules trouvées (i) et (S) dans lesquelles

on fait r=*/î et R=72 V^ pour trouver le rayon et l'apothème de l'octogone régulier du même périmètre A. Puis à l'aide des mêmes formules, en remplaçant R et r par les valeurs qu'on vient de trouver, on calcule le rayon et l'apothème du polygone isopérimètre de 16 côtés, puis successivement des polygones isopérimètres de 33, de 64, de 128 côtés, etc., jusqu'à ce que les wileurs trouvées de R' et de r^ aient un nombre suffisant de chiflres décimaux communs. Ces chiffres décimaux communs appartiennent à la vraie valeur du rayon cherché de la circonférence égale à 4; car ce rayon est compris entre Vun quelconque des rayons calculés et rapoikème correspondant. (V. la remarque suivante.)

Ayant trouvé ainsi une valeur approchée du rayon, on divise la valeur 4 de la circonfëronce par le double du rayon, et on a une valeur approchée de w. (Voyez le tableau ci-après.)