LIVRE nu

OD a donc

est compris entre e rayon R' du cercle eircon* scrit et l'apothème r' d'un polygone régulier quelconque ayant un périmètre égal à 4,

En effet, le périmètre égal à 4 du polygone en question est compris entre la circonférence du cercle qui lui est circonscrit et la circonférence du cercle qui y est inscrit;

2irr' < 4 < âirR', ou à cause de 2:tar=4, 2Tcr'<27ra;<2TCR'; donc r'<x< R', C, Q. F. D.

189. Les valeurs de r' et de R' successivement calculées se rapprochent rapidement, et on a bientôt des chiffres décimaux communs. En effet, quand on passe d'un polygone au suivant, R' — r

est moindre que -(R— r). Nous allons le démontrer.

D'après la figure du n* 186, CD" — Cl = Dl == [—\ =

Atr OA^ — OH'

, ou Ri— r'2 =

ou bien encore (R'— r')X(R' + r')=-— — x(R+r); d'où enfin

4 R + / Mais R+rou (CO-f 0H) = 2r'=r'4-r'<R'+ r'; donc

§74^,<1; par suite R'— r'<5-=^. C. Q. F. a H -f-r 4

\ et r, étant les premiers rayons considérés, on a

Rî— r2<7(R4— rj; R3— r3<7(R2— ra);

R4— n<jR3— r3);...i Rn— r»<;j(R»-i-''«-i)-

128 COURS DE GÉ(»ltrRIB.

Ed multipliant ces inégalités membres à membres, on trouve en

implifiant : R„— r^<7^(Ri-'rJ. Pour le carré R, = - V2.-=

sim

0,707i, rj=0,5; R, — r,=0,207!. On peut aussi trouver une limite de l'approximation obtenue dans les calculs successifs.

Voici, d'après Legendre^ le tableau des valeurs de R et de r calculées depuis le carré jusqu'au polygone de 8192 côtés.

TABLEAU des rayons et des apothèmet des polygones réguliers ayant le même périmèire:=A (calculés à O^OOOOOOi prèss).

NOUBRE DES CÔTÉS.

APOTHÈMES.

RATOSS. R

ri = 0,5000000

Ri = 0,7071068

Rs = 0,6368754

re = 0,6364949

rj, = 0,6366477

rio = 0,6366492

ri, = 0,6366195

Ru = 0,6366197

ri,= 0,6366196

Rjj— 0,6366196

Une circonférence égale à 4 a donc certainement un rayon égal à 0,6366196

Le rapport de la circonférence au diamètre ou — est donc égal

, 20000000 ,, approximativement à . (Le diviseur est approché à

moins de 0,0000001.)