LIVRE IV

ngan» égalM cbtennc à chaaane, Mtemhlén difT^remmcnt. C'Mt ilnri que le parallélogramme ABCD (page 138) est équivalenl au reetangla DCIH, que le trlaogle ADF (page I39)e»t équWalenl au irap«ie ABCD.

RsKAnoiiR. Lorsque dans les applications aumériques, à propc» de rapports ou de relations quelconques entre des tigiircs planes, nous dirons simplement triangle, rectangle, polygone, cercle, il s'agira des airei de ces figures cl non de leurs périmètres; ceuxci sont toujours expressément désignés.

KGSURB DU RECTANGLE.

104. L'aire d'un rectangle ett égal au produit de *a base par sa hauteur.

Eu d'autres termes :

Pour mesurer un rectangle, il suffit de mesurer sa base et sa hauteur avec l'unité linéaire, puis de multiplier l'un par l'autre les deux nombres ainsi obtenus; le produit est le nombre d'unités carrées contenues dans la surface du rectangle.

Pour démontrer cette proposition, nous distinguerons deux cas ; i" us. La base et la hauteur sont exprimées par de» nombres entiers. Par ex. : AB = 5; AD = 3.

Je partage AB en S unités et AD en 3; par les points de division de AB, je mène des parallèles à -* AD, et par ceux de AD, des parallèles à AB. Le rectangle se trouve ainsi décomposé en carrés dont chacun, ayant pour côté L'unité linéaire, n'est autre que l'unité de surface. Le nombre de ces carrés est évidem-

ment 5x3; l'aire du rectangle est donc 3x3; ce qui est précisément le produit de la base par Li hauteur.

2' CAS. Les dimensions du rectangle ne sont pas toutes deux exprimées par des nombres entiers. Ex. : AB = 3",23 et AD = 1",7,

Réduisons ces deux dimensions en parties décimales de la plus peUle espèce indiquée : AB = 3-25 centimètres, AD = 170 centimètres. Prenons auxiliairement le centimètre pour unité de longueur et le centimètre carré pour unité de surface. En divisant

AB en 325 centimètres et AD en 170» puis menant des parallèles

comme dans le premier cas, on voit que le rectangle contient

325x170 centimètres carrés; 325x170, c'est précisément le

produit de sa base par sa hauteur.

Si Ton veut conserver le mètre pour unité* on se fond^ sur ce

qu'un centimètre carré est un dix-millième de mètre carré. On en

conclut que 325X470 centimètres carrés =—^^^ -r— de mètre

(325 i 70\ -— r X -rr^ ) mètres carrés = (3,25 X i,70) mètres 100 100/

carrés.

Ainsi^ que Tunité soit le mètre ou le centimètre, le nombre qui mesure le rectangle est précisément le produit du nombre qui exprime sa base multiplié par celui qui exprime sa hauteur.

Il est clair que si les dimensions étaient exprimées par des nombres fractionnaires ordinaires, il suffirait de réduire les fractions au même dénominateur, et de prendre pour unité linéaire auxiliaire Tune des parties de l'unité principale ainsi obtenues.

Cette démonstration réussit, quelque petite que soit la subdivision de Tunité qui sert de mesure à l'une et à Tautre dimension du rectangle; nous pouvons donc dire en général, dans le sens indiqué : Un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Formule. Désignons par R l'aire du rectangle^ par B et par II les nombres qui expriment sa base et sa hauteur; la proposition précédente se formule ainsi :

R=BXH.

195. Corollaire I. Le rapport de deux rectangles quelconques est égal au produit du rapport de leurs bases par celui de leurs hauteurs; ou bien, deux rectangles sont entre eux dans le même rapport que les produits de leurs bases par leurs hauteurs.

Désignons comme tout à l'heure l'aire du 1*' rectangle par R, sa base par B et sa hauteur par H. Désignons de môme par R', B', H', les mêmes nombres relatifs au 2* rectangle,

R=:BXH, R' = B'XH'.