LIVRE IV

Bien que l'égalité (i) n'ait été démontrée qu'en arithmétique ou en algèbre^ la vérité de la proposition de géométrie que nous venons d'énoncer est parfaitement démontrée par cette égalité. Il suffit de considérer les aires que les différents termes de l'égalité représentent dans l'hypothèse où a et 6 sont des nombres exprimant les longueurs de deux lignes a et b.

A ce point de vue, l'égalité (1) exprime évidemment que Taire du carré construit sur la somme des deux lignes, (a + b)^, est égale à Taire du carré construit sur la ligne a, (û^), plus Taire du carré construit sur la ligne (, (6^), plus deux fois Taire du rectangle qui aurait pour côtés les lignes a et 6 (2a x^].

Or c'est ce qui est dit d'une manière plus abrégée dans Ténoncé de la proposition qui nous occupe.

De même la formule (a — ô)*^=a*+ô2 — ^axb (2), interprétée géométriquement, au point de vue des aires que ses termes représentent, démontre ce théorème :

Le carré construit sur la différence des deux lignes a, b, est égal à la somme des carrés construits sur ces deux lignes moins deux fois le rectangle construit sur ces deux lignes.

De même la formule (a— 6)x(a-|-ô)=a^ — 6* (3) prouve que le rectangle construit avec la somme et la différence de deux lignes pour côtés, équivaut à la différence des carrés construits sur ces deux lignes, f-

208. BC, AB, AG étant les valeurs numériques de Thypoténuse et des deux autres côtés d'un triangle rectangle ABC, nous avons

démontré, n<» 454, que BG*=ÂB^4-Âg\ Cette égalité, interprétée comme les précédentes, démontre ce théorème :

Le carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égala la somme des carrés construits sur les côtés de t angle droit.

209. L'angle B d'un triangle ABC, étant aigu, on a trouvé (n*i56) entre les valeurs numériques des côtés AG,AB, BGdu triangle et celle de la projection BD de AB sur BG, la relation que voici :

AG*=ÂB*+BG*— 2BGXBD.

Cette égalité démontre ce théorème :

Le carré construit sur le côté d'un triangle opposé à an angle

aigu est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtésy moins deux fois le rectangle construit sur l'un de ces demiert côtés et la projection de l* autre sur celui-là. 210. L*ang!e C du triangle ABC étant obtus, on a trouvé,n'i57,

ÂB*=AG*4-BC*-[-2BCxCD. Cette égalité démontre la proposition suivante :

Le carré construit sur le côté d'un triangle opposé à un angleohtui est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés^ plus deux fois le rectangle construit sur Vun de ces derniers côtés et la projection de Vautre sur celui-là (*)•

911. Les formules que nous Tenons d'appliquer ont été déniontrées à la fois par le calcul et par des considérations géométriques; nous allons et donner des démonstrations purement géométriques. Bien qu'aucune Tériflcftion des résultats obtenus par le calcul ne soit nécessaire, la concordance d6e deux méthodes ne pourra que donner au lecteur plus de confiance dans Tap* plication du calcul à la géométrie.

Théorcmc.

* 919. Le rectangle construit sur la somme et la différence de deux lignes

a et b, e^^ équivalent à la différence des carrés de ces lignes,

Soient AB = a, BC=6, AC=a— 6, AC'=a + *. Jj mène AD = AC perpendiculaire sur AB, et j'achève 0^-

r rectangle ADEC'=AC'x AD= {a -\- b) x (a — b). ''■"

^ ^ . ^ prolonge ensuite AD d'une longueur DK = BC, et en W

J'achève le carré ABMK ou ÂB . En comparant ce carré ABMK et le rectao ^^ ADEC, on leur trouve une partie commune ADIB;

ADEC'=ADIB + IBC'E.

ABMK — NPIM ou ÂB* - BG* = ADIB + KDPN.

Les deux rectangles IBC'E, KDPN sont égaux; car IB= AD = AC = DP|

d'ailleurs DK=BC'j IBC'E étant égal à KUPN, ADEC = ÂB* — 5?, oo (fl ^. 6)rt — 6)=a«— 6*. C. Q. F. D.

(*) Nous croyons ces démonstrations des théorèmes relatifs aux carrés diS c6t^ d'un triangle conformes au programme; selon nous, les suivantes ne sont pas exigées.

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