BCFE = BE X BC = AB X BC
«•4. Ic carré construit sur la différence de deux lignes est égal à la
9mme des carrés construits sur ces lignes^ moins deux fois le rectangle qui
A ces lignes pour côtés,
AC = AB — BC, ÂC* = Âb' + BC* — 2AB X BC.
Ayant constrait le carré ABFK sur AB, je construis le carré ACED sur AC,
en prenant AD = AC; alors DK = BC. Sur DK = BC.
Ir— :i 1 — i"p je construis le carré DKLM = BC ; enfin je prolonge CE
jusqu'à rencontrer KF en I. La figure totale ABFLMDA =
ABFK + DKLM = AB* + BC*. Or, si de cette figure totale on retranche (on elTaçe) les deux rectangles CBIF,
MEIL, il reste le carré MËË ^^it sur ^6; AC* est donc «gai à 3[b*+ BC* moins cesdeux rectangles. Or, ICBF=lCxBC=AB x BC;
ME1L= ME X ML = AB X BC; donc ÂC* = ÂB* + BC* — 2ABx BC. Ce qu'il (allait démontrer.
Théorème.
*J -^ti». le cofré construit sur r hypoténuse é^un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les cAtés de V angle droit.
Je construis un carré sur chaque côté du triangle. Du point A j'abaisse
sur l'hypoténuse BC la perpendiculaire Ai, que je prolonge ju^qu'à la rencontre de DE en H; je joins AD, MO. L*angle MBC = MBA P + ABC = Idr + ABC; de même l'angle ABD = l««r + ABC ; doiic l'angle MBC = ABD. Gela posé^Ies deux triangles BAO, BMC sont égaux comme ayant un angle égal, ABD = MBC, compris entre des côtés égaux chacune chacun, savoir : AB=MB (côtés d'un même carré), BD = BC {idem). Mais le triangle ABD et le rectangle BIHD ont même base BD et même h;iiiteur; car IB est égal à la perpendicuiaire abaissée du sommet A sur DB prolongée; le triangle ABD équiyaut donc à la moitié du rectangle (V. leurs mesures). Le triangle MBC et le carré MBAN ont mém<) base MB et même hauteur; car la perpendiculaire abaissée de G sur MB prolongée est égale à AB (NAC parallèle à MB}; le triangle MBC équivaut à la moitié du carré (V. leurs mesures). Or le triangte ABD est égal au tiiangle MBC; donc la moitié du rectangle équivaut à la moitié du carré; donc AB* = BIHD. On démontrerait de mémo que le carré ACPQ est
équivalent au rectangle IHEC. En résumé, BIHD = ÂB*, IHEG =: Âc'; Ê^
== BIHD + IHEC ; donc BC* = ÂB* + ÂC*. C.Q.F. D.
Corollaires. Les rectangles BIHD, IHEC» ayant même hauteur IH^ sont en-
. . . . , BIHD BI
tre eux dans le même rapport que leurs bases; ' = — ;
InoiCi Itt
donc
AB
BI
ic* i<^
Les carrés construits sur les côtés de Vangle droit sont entre eux dam» k
métne rapport que les segments adjacents de V hypoténuse»
. . BIHD BI ^ Onademême.jjjj^=-;donc
AB
BI
Bc' BC
Les carrés construits sur un des côtés de l'angle droit et sur VhyyoténMM sont entre eux dans le menue rapport que le segment adjacent à ce côté d r hypoténuse elle-même.
Quant aux théorèmes relatifs aux carrés construits sur les côtés des trlanf^a non rectangles, nous ne pourrions que répeter les démonstrations doiuiéii dans le livre 111; ce sont des conséquences des trois théorèmes qui précèiteoL Nous renvoyons au livre 111 (n** 15S et 157).
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