APPLICATION A LA CONSTRUCTION DES RACINES D^UNB EQUATION DU SECOND

DEGRÉ A UNE INCONNUE [exiçé],

ttft. Pour consfruire les racines x' et x" d'une équation du 2* degré ra« menée à la forme : x*-^ px+ y = 0, on s'appuie sur ces deux principes :

La somme des racines if une équation du 2* degré est égale au coefficient du 2* terme pris en signe contraire : x' -f- x" = — p.

Le produit des mêmes racines est égal àq; x' x x" = q.

Quand ou applique l'Algèbre à la Géométrie, tous les termes de chaque équation sont homogènes^ c'esl-à-dire composés du même nombre de facteon

linéaires. Si l'un est an produit de lignes, chacun des autres est on produit do même nombre de lignes^ ou représente le produit d'autant de lignes.

Dans l'équation x^ + px -^ q =z 0, s* étant le produit de deux lignes s et s, p X £ est le produit de deux lignes p et x. Tune connue, l'antre inconnue, et^ doit être le produit de deux lignes données qu'on peut remplacer par un carré équivalent a*, ou, si c'est un nombre^ sa yalenr absolue doit élre considérée comme représentant l'aire d'un certain carré connu a* (dont a e»t le côté).

Cela posé, pour que nos explications soient claires, nons représenterons par p la valeur absolue ou linéaire du coefficient de x, par a* la valeur absolue de 9, et par x* et x" les valeurs absolues des racines. Par suite p et a représentent des lignes données ou connues, et a/ et x" des lignes à construire, ces quatre lignes étant considérées en valeurs absolues, c'est-à-dire abstraction faite de tout si^'ne.

La construction géométrique donne ces valeurs absolues oi^ %i x*'. Ces valeurs trouvées, on peut leur donner les signes Indiqués par les signes de l'équation proposée et les employer en conséquence.

Eu égard aux signes de ces termes, l'équation du 2* degré peut avoir l'une de ces quatre formes :

(1) x«— pflf-|-a* = 0; (2) a:*+pa;+a« = 0;

(3) aj*— px— a«=0; (4) «•+?«— û*=0.

!•» CAS. a;*— px +0*= 0. Le produit des racines (+ o*) étant positif, les racine!^ sont de même signe; leur somme (+ p) étant positive, leur signe commun est -f . Appelons-les x' et ^'; on a x' + a;" = p ; rc' x a^'= û*.

Pour avoir x' et a/', on construit donc les côtés d'un rectangle équivalant à un cane donné a^, tels que leur somme soit égale à p. (V. n<> 223; a/ = AE, œ" = KP.)

2« 0,5: a;" -f par + o' = 0. Le produit des racines (+ û«) étant positif, les deux racines soiit de même signe. Leur somme ( — p) étant négative, leur signe commun est — •; elles sont toutes deux négatives. Appelons-les — x^ et — »". Nous avons x' x as" = o* et — a^ — oc" = — p ou a:' + x" = p.

On trouvera les valeurs absolues af et a;"des racines en construisant les côtés d'un rectangle équivalant au carré a*, tels que leur somme soit égale à p. (V. n* 223).

Ces lignes trouvées, on leur donnera le signe —, et on les emploiera en con« séquence, x' = — AE, «"= — EB.

Remarque. Dans ces deux premiers cas, le radical des valeurs de a;' et dea" est

a'. On volt que le» racines ne peuvent alors être réelles, c'est-à-dire

exister, que si a* ne surpasse pas 1/4 p', c'est-à-dire si a ne surpasse pas 1/a p. C'est précisément lacondilion indiquée n» 223, remargite; celle condition est donc nécessaire ou indibpensable.

»• CAS. «*— pa:— a> = 0. Le produit des racines h-o«) étant négatif, les radnet sont de lignes contraires ; nous les appellerons a/ et — a;".Leur somma