LIVRE YI

MESURE DES PAUALLKLiriPÎiDES.

Théorème.

290, Le volume d^un parallélipipède rectangle est égal au pro^ îuit de sa base par sa hauteur^ ou bien au produit de ses trois di* mensions.

Autrement dit :

Pour mesurer un parallélipipède rectangle, il suffit de mesurer sa base et sa hauteur, ou bien ses trois dimensions, et de multiplier entre eux les nombres obtenus. Le produit est le nombre d'unités de volume contenues dans le parallélipipède donné.

Démonstration. Supposons d'abord que les trois dimensions du parallélipipède rectangle proposé soient exprimées par des nombres entiers. Soit par exemple AB = 3°, AD = 5* et AE = i\ La base ABGD peut être décomposée en 3x5 ou 15 mètres

carrés, comme il est indiqué. Sur chaque mètre carré plaçons un mètre cube; nous formons ainsi une couche de 15 mètres cubes qui a 1 mètre de hauteur.

Plaçons 15 nouveaux cubes sur les premiers; l'ensemble des deux couches aura 2 mètres de hauteur. Ainsi de suite jusqu'à la hauteur de 4 mètres. Les quatre couches de 15 mètres cubes alors superposées atteindront la base ËFGH et rempliront exactement le parallélipipède proposé. Celui-ci contient donc 15x4 ou 60 mètres cubes; mais 15x4, c'est précisément le produit de sa base par sa hauteur.

Supposons maintenant que les trois dimensions du parallélipipède ne soient pas toutes exprimées par des nombres entiers. Supposons par exemple que AB=3",2o, AD=4-,7 et AE=:3",84. Réduisons ces dimensions en unités décimales de la plus petite espèce indiquée, c'est-à-dire en centimètres, AB = 325 centim.; AD=470 centim., et AE = 384 centim. La base ABCD peut être

décomposée en S'SSx^TO centimètres carrés. Sur ces carrés on peut poser une couche de 325x^70 centimètres cubes, sur ceux-ci une nouvelle couche^ et ainsi de suite jusqu'à la hauteur de 384 centimètres. On atteint ainsi la base supérieure du parallélipipède proposé; ceparallélipipèdeéquivautdoncà(325x470)X 384 centimètres cubes. Or (325x470x384) est le produit de sa base par sa hauteur, ou bien le produit de ses trois dimensions mesurées avec le centimètre.

On peut d'ailleurs tout rapporter au mètre. Il n'y a qu'à se rappeler que le centimètre cube est la millionième partie du mètre cube.

Par conséquent, (325 X 470 X 384r°>- ^""^ = ^^^ ^ ^J^ ^ ^^^ ^ ^ '^ / iOOOOOO

de mètres cubes, ce qui revient à , • ^ ^ • . • > .

/325 470 384\ »*'• «°»>~ „^ ^, . ^, ««.... ^ [m^Tm^m) = [(3,25X4,7) x3,84r—.

Si les trois dimensions étaient exprimées par des nombres fractionnaires ordinaires, on réduirait ces nombres en fractions de même dénominateur; puis on adopterait pour unité linéaire une partie de l'unité principale indiquée par le dénominateur. On démontrerait ensuite comme nous venons de le faire.

La proposition énoncée est donc vraie quand les trois dimensions du parallèlipipède ont une commune mesure, si petite qu*ell6 soit; elle est donc vraie en général.

291. Désignons par P, B et H les nombres qui expriment le volume du parallèlipipède, la surface de sa base et sa hauteur; notre proposition se formule ainsi :

P = BxH. (I)

292. CoROLLAiRB ï. Lc rapport de deux parallélipipèdes reetan gles quelconques est égal au rapport de leurs bases multiplié par £ rapport de leurs hauteurs.

Ou bien encore :

Deux parallélipipèdes sont entre eux dans le même rapport que les produits de leurs bases par leurs hauteurs. En effet, soient P, P* les nombres qui expriment les volumes de