LIVRE VI
Tliéorcmc.
297. Le volume d^un parallélipiphde oblique est égùl au produit de sa hase par sa hauteur.
Soit ABGDEFGH le parallélipipède proposé; nous le désignerons ponr abréger par AG (*). Je prolonge BA et CD, et je prends Mï= JBA; par chacun des points M et I^ je mène un plan perpendiculaire à la droite IMD. Ces deux plans UMLT^ RIKS, rencontrant les <|uatre faces latérales prolongées du parallélipipède proposé AG, forment avec elles un nouveau parallélipipède IKLMRSTU (par abréviation IT), droit par construction, ayant pour base MLTU et pour hauteur MI. Ce parallélipipède droit IT est équivalent au pa* rallélipipède proposé AG. Pour le démontrer, considérons le solide UMLTFBCG, et faisons-le glisser le long des lignes FR, GS, CK, BI jusqu'à ce que sa base UMLT vienne coïncider avec la face égale IKSR. Le point M ayant fait alors le chemin IiM, le point B aura fait le cbemin égal AB et sera arrivé en A; de même le point G arrive en D, le point G en II et le point F en E ; de sorte que le solide UMLTFBCG coïncide exactement avec le solide RIKSEADH; ces deux solides sont donc égaux. Si, de ces deux solides égaux, on retranche la partie commune UMLTEADH, les restes sont équivalents; or ces restes sont précisément les parallélipipèdesAG et IT.
Le parallélipipède droit IT a pour mesure le produit de sa base
(*) Pour cette désignation abrégée, on choisit deux lettres situées aux extrémités d*une mémo diagonaie du parallélipipède.
210 COURS DE GLOMÉTUIE.
par sa hauteur, UMLTxMI; celte mesure est aussi celle du paratlélipipèdeéq-iivalonlAG; AG=UMLTxMl=ABxUMLT. Pour avoir la mesure du parallélogramme UMLT, abaissons sa hauteur TO; UMLT=TMLXT0. Donc le parallélipipède AG = ABxMLX TO. Mais la droite ML (du plan UMLT) étant perpendiculaire à Ml et à KL, mesure la distance de ces deux parallèles^ et aussi celle de AB et de CD; ML est la hauteur du parallélogramme ABCD. ABxML = ABCD.
Donc parallélipipède AG = ABCD X TO.
Mais TO est une perpendiculaire menée du plan supérieur RSGF sur le plan inférieur IKGB. En effet, le plan UMLT perpendicu- ,\ < laire à MI est perpendiculaire au plan lOlL qu'il coupe suivant , , ML; TO perpendiculaire a ML dans le plan UMLT est perpendicu- * V lairc au plan IKML (n* 5Wî); TO est donc la hauteur du pamllélipipède AG correspondant à la base ABCD. Ce parallélipipède a dona pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. C, Q. F. D.
2t)U. Corollaire. Le volume d* un parallélipipède quelconque est donc égal au produit de sa base par sa hauteur (n" 290, 206, 297),
APPLICATIONS
Problème I.
Combien y û-/-i7 d*hectoiitres de blé dans un silo, dont la forme est celle d'un patallélipipède rectangle, ayant 4",5G de longueur, S^.SO de largeur, et 5",48 de profondeur?
L'hectolitre = 100 litres ou 100 décimètres cubes ou 0"^»! ; la capacité du silo est en mètres cubes, 4,5G x 3,80x5,48 = 94n»cabof,95744 (a» 2OOJ. LesUo contient 949 hectolitres, 57 litres 44 centilitres.
Problème D.
On demande le poids d'une pierre taillée en forme de parallélipipède rectangle ayant pour dimensions l'",2i; U^'^S et 0'",64, le poids spécifique de la pierre étant 2,5.
Le poids 6péciflque de la pierre est 2,5 ; cela signifie que 1 centimètre cube de celte pierre pèse 2(%5 ; évaluons donc le volume en centimètres cubes. Si Ton prend le centimètre pour unité, les dimensions de la pierre sont 124<*, 80'" et 64*"; son volume est égal à 124 x 80x 64 centimètres cube8= 634880 centimètres cubes. Le poids en est donc égal à 26^,5x634 880= 1587200 gramiP'**^ OU 158Ki,20O.
