LIVRE VI

EXERCICES

Problèmes numériques.

49. GorabieD peui*oo roellre de stères de bois dans un bûcher qui a 8*,4 de long, U",85 de large, el 3",6 de hauteur?

20. Un tas de bois à brûler a la forme d'un parallélipipëde rectangle long de 2*^40 et large de 4 ",80; on le vend 438%S4 à raison de 20' le slére. Quelle est la hauteur du tas?

nr C« 91 . Il faut 6"* d'air par heure pour la respiration d'un élève. Une salle d*école bier close, qui reçoit 70 élèves pour une clasi^e de 3 heures,a7"',80de long, 7*" de large el 3",50 de profondeur. L'air qu'elle contient ne suffisant pas pour les 3 heures df^ classe, on veut y pratiquer une ouverture qui laisse entrer le supplément d'air nécessaire avec une vitesse de 5 décimètres par seconde. Quelle devra être l'étendue de cette ouverture qui a la Torme d'un petit carré ?

S2. Les arêtes d'un parailélipipède sont proportionnelles aux nombres 0,S4; 4,8; et 4; son volume est 246*"*'. Calculer ses aréics et sa surface totale.

Tliéorèiuc.

299. Un prisme triangulaire ABDKFH est la moitié du parailélipipède ABdDEFGH de base double et de même hauteur. Si le prisme et par suite le parallélip pède étaient droits, la

proposition serait déjà démontrée; car ces deux prismes ABDEFH, DBCFllG ayant des bases égales EFH, FGH et des hauteurs égales, EA=CG, etc., pourraient coïncider (281). Supposons-les obliques, et construisons des prismes droits qui leur soient équivalents; pour cela, nous prendrons sur la direction AE une longueur IN= AE et nous mènerons par les points I et N des plans perpendiculaires à la ligne AEN; ces plans coupent les faces du parailélipipède oblique et leurs prolongements suivant les parallélogrammes IKLM, NOPQ, qui déterminent un parallélipipède droit IKLMNOPQ. Le plan diagonal BDFH prolongé divise ce parallépipède en deux prismes droits égaux, KIMONQ, KJMLOPQ ; si nous prouvons que les prismes obliques sont équivalents chacun à chacun à ces prismes droits, nous aurons démontré que les prismes obliques sont équivalents entre eux. Or le prisme oblique

COLT.S de" GÉOMÉTRIE.

ABDEFFI et le prisme droit IKMNOQ ont une partie commune, le solide IKMEFH. Les parties non communes ABl)IKiMy EFHONQ sontéjrales et superposahles : on le démontre (comme dans le numéro précédent) on fai^^ant glisser le solide supérieur le long des lignes AN, DO, BQ, jusqu'à ce que la base IKM coïncide avec son égale NOQ ; alors lA est sur son égale NE et le point A se trouve en E ; D vient en F et B en H (V. la démonstration précédente) ; ces deux solides coïncident dans toute leur étendue. Le prisme oblique ABDEFII et le prisme droit KÎMONQ , composés de parties égales chacune à chacune, sont équivalents. On démontrerait de môme que les prismes BCDHGF, KMLOPQ sont équivalents. Les prismes obliques équivalents k des prismes droits égaux entre eux sont équivalents. Chacun d'eux est donc la moitié du parallclipîpède ABCDEFGU. C. Q. F. D.

50(1. Le volume d'un prisme est égal au produit de sa base par ia hauteur.

Si le prisme est triangulaire, il est la moitié d'un parallélipipède

de môme hauteur et de base double. Le volume du parallélipipède étant égal au produit de sa base par sahauteur, le volume du prisme est égal à la moitié de la base du parallélipipède rnulti* pliée par sa hauteur, c'est-à-dire à sa propre base multipliée par sa hauteur.

Considérons maintenant un prisme polygonal ABCDEGHIKM; décomposons sa base en triangles par des lignes issues du môme sommet G; les plans AGIC, AGKD décomposent le prisme polygonal, en prismes triangulaires, dont chacun a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur; si h désigne la hauteur, les trois volumes partiels sont respectivement égaux à HGlx^; GKIx^; GMKx^; le volunip du prisme ABCDEGHIKM, qui en est la somme, est égal à Ax(lIGlxGKIxGMK) =GHIKMx A. " C. Q. F. D.

500 bis. Remarque. La démonstration que nous avons faite