LIVRE VI
Rbhahque. Il est facile de démontrer rigoureusement la proposition sur
laquelle nous nous sommes appuyé : Chaque pyramide est la limite vers laquelle tend la somme des prismes intérieurs inscrits quand le nombre de ces prismes augmente indéfini- ^ ment, (bnsidérons toujours la première pyramide PABG et les prismes qui y sont inscrits (page 216). Plaçons à ' côté une autre pyramide PABG ezaclemenl égale (celle-ci), y et divisons la hauteur en un même nombre de parties ^ égales. Imaginons par les poinis de division des pians ; parallèles à la base, et construisons les triangles suivant lesquels ces plans coupent la pyramide. Sur le triangle ABC pris pour base inférieure^ puis successivement sur tous les autres triangles construisons des prismes compris entre les pUns parallèles {V, la ligure). Les prismes ainsi construits débordent la pyramide; comparons-les par ordre aux prismes intérieurs de la 1" figure, page 216. Les prismes n^ 1 sont équivalents comme ayant même base et même hauteur; il en est de même des prismes ('2) et des prismes (3). Le dernier prisme excédant intérieur (4) n*a pas de con^respondant. Ce prisme,
AH qui a pour mesure ABC X Al ou ABC X — (n étant le nombre des di-
visions de AH), constitue la différence entre la somme S des prismes
intérieurs à la pyramide proposée (page 216), et la somme S' des prismes
qui la débordent (page 217). S' - S = ABC x Al.
Maintenant, concevons que le nombre des divisions de AH, et par suite
le nombre des prismes augmente indéfiniment ; tout ce que nous venons de
AH
dire sera toujours exact. Mais AI = devenant de plus en plus petite,
le volume ABCx AI, du prisme excédant inTérieur, qui constitue toujours a différence S' — S, diminuq indéfiniment et tend vers zéro. Cela posé, remarquons que la somme S des prismes intérieurs est moindre que la pyramide P; la somme S' des prismes qui débordent est plus grande que cette pyramide.
La différence p — S est donc plus petite que S' — S. Cette dernière différence, diminuant indéfiniment, et tendant vers zéro quand le nombre des prismes augmente indéfiniment, il en est de môme, à fortiori, de la différence P — S. La différence entre la pyramide proposée et la somme des prismes intérieurs inscrits diminue indéfiniment et tend vers quand le nombre de ces prismes augmente. C'est ce que nous voulions démontrer; car la proposition énoncée ne signifie pas autre chose.
Théorème.
304. Une pyramide triangulaire est le tiers (V un prisme de même base et de même hauteur.
Soient ABCDEF un prisme triangulaire quelconque. Je mène le
plan GDF; ce plan décompose le prisme en deux pyramides. Tune triangulaire GDEF, L'autre quadrangulaire CxXDFH (bîise ADFB). Je mène la diagonale AP de cette base; le plan CAP divise la pyramide quadrangulaire CADFB en deux pyramides triangulaires CABF, CADF. Le prisme se trouve ainsi décomposé en trois pyramides triangulaires CDEF, CABF. CADF. La première, CDEF, a la base DEF et la hauteur du prisme; la seconde, CABF, si on la considère comme ayant le sommet F, a la base ABC et la hauteur du prisme; ces deux pyramides ayant des bases égales et même hauteur, sont équivalentes^ CDE F= C A BF. Mais les pyramides C ABF ,C A DF, qui ont le sommet commun C, ont des bases égales, ABF, ADF (moitié d'un parallélogramme), et même hauteur (la distance du point C au plan ABDFj; elles sont donc équivalentes. En résumé, CDEF=CABF = CADFi les trois pyramides dont se compose le prisme étant équivalentes, l'une d'elles, CDEF, par exemple, est le tiers du prisme. C. Q. F. D.
Tlicorème.
305. Le volume (Tune pyramide est égal au tiers du produit de
sa base par sa hauteur. V = - B X H.
Considérons d'abord une pyramide triangulaire; elle est le tiers d'un prisme de même base B, et de môme hauteur II (n* 30i) ; or le volume du prisme est égal à BxII; le volume de la pyramide
est donc égal à- BXH. C. Q. F. D.
Soit en second lieu une pyramide polygonale SABCDE; je dé-
(*) Une pyramide triangulaire CDKF étant donnée» on construit aisénient nik. prisme de même base et de même h.iuteur; il suffit de mener des parallèle» \h\, FB, à l'arête KC, A l.t rencontre de C\ parallèle à ED et de CB paraUèl» à ICF; ce qui produit la figure ci-dessus.
LIYRE VI.
kU:1::::.:.
compose la base en triangles par des diagonales issues du môme sommet A. Les plans SAC, SAD, conduits par ces diagonales et
le sommet S^ décomposent la pyrami'lo proposée en pyramides triangulaires SABC, etc.
qui ont toutes môme hauteur que la pyramide
polygonale. Or SABC= \ HxABG; SACD=
- HxCAD, etc... La somme de ces volumes ou
la pyramide SACBDE= \ H (ABC + CAD +
DAE) = î H X ABCDE. C. Q. F. D.
30G. Mesure d'un polyèdre quelconque. En joignant un sommet
qtielconque S d'un polyèdre aux sommets do toutes les faces qui ne passent pas par* ce sommet S, puis en conduisant des plans par ce point S et les côtés de ces mômes faces, on décompose ce polyèdre en autant de pyramides qu'il y a de ces faces. Ex. :
SABIG, SDFGI, SBCDI. On mesure le volume de chacune de ces pyramides, puis on additionne; la somme de ces volumes est le volume du polyèdre.
Problème,
Cmnhieh vaut une pyramùle régulière cV argent massif au titre de 0,840 fiont la base est un hexagone régulier, et la hauteur quadruple du côté de la àcse? La densité de la matière est 9, 8 ; le kilogramme d'argent au titre de 0,900 wiut 198 ',50, et le côfé de la base esi 0,6 de centimètre.
On cherche d'abord le poids de la pyramide, qui esi égal à son volumo
moUiplié parla densUé de la matière. OrV="xB," = îlîilî ^ o,8;
on évalue Taire de la base comme dans le problème de la pnge213;
•^ = 1,8 X 0,519 ; donc V= 0,8 x 1,8 X 0,519. Le poids en grammes est ega.
^ ^«^X 1,8x0^519x9,8. ISnlln, le gramme d'aigenr, au titre deO,00<) va-
0' 198 SO lant O'plOSSO^ le gramme d'argent au titre de 0,001 vaut -^ — — ,«tauQ*
. ^ «. n 0'.iî)850x840 . . ,.x . j Ire de 0,S40. ^^ . Le prix cherché est donc
EXKRCICES.
problèmes numériques,
30. Une pyramide haute de 35"* a pour base un carré de 4"*,5 de cOlè. On demande le prix de la pierre dont elle esi composée à raison de 6' le méire cube.
31. La plus grande pyramide d'Égypie a 446" de haut. Sa base est un carré de 237* de côlé, et ses races latérales sont des iriang'es isocèles. Go demande son volume, sa surrace latérale, ei son poids, sachant que le décimètre cube de pierre pét>e SK9,64.
llif^ 32. Une pyramide régulière a pour base un hexagone régulier dj 45* de côté; ses faces sont inclinées de 60* sur sa base. Calculer le poids de cette pyramide, sachant que la densité de la pierre qui la compose est 2,5. " ,l!^' ^^* ^" demande la valeur d'une pyramide régulière d'argent ma«sir au titre de £« i 0,840 dont la base est un octogone régulier d3 0",45 de côté et la hauteur 75*^. La
|i'^a/rM densité de la madère est 9,8 et le kllog. d'argent, au titre de 0,900, vaut 498',50. ' y • 34. Calculer le volume et la surrace d'un tétraèdre régulier
^-^ — dont l'arête esta {formule),
Zibis, — dont l'arête est S'^G [application).
Problèmes graphiques,
85. Marquer sur les faces d*un tétraèdre donné SABC les trace« de quatre plans respectivement parallèles aux faces du tétraèdre et concourant en un point tel que " les tétraèdres OABC, OABS, DUCS, — soient équivalents.
