soient proportionnels à 3, 4, 5 et

37. — aient des volumes donnés : 2"«,48; 5"*,83à; 45«*,80; 8"«,506,

Théorèmes à démontrer,

38. Un tétraèdre est divisé en deux parties éq'iivaleiiics par un plan qui passe par une de ses arètea et par le milieu de l'arôle opposite.

39. Le plan bissecteur d'un dièdre d'un tétraèdre divise Tarète opposée en seg" menis proportionnels aux faces du dièdre.

40. Deux tétraèdres qui ont un an;(le solide égal sont entre eux eommeles produit* des trois arêtes qui comprennent cet angle.

44. Si on coupe un angle trièdre par deux plans également distants du tommei» les aires de ces sections sont proporlionneHcs aux produits des arêtes qui abov tissent i ces sections.

42. Étant données trois droites parallèles non situées dans le même plan^ tous l09

Li\nE VI. 221

UlntilKl use» qui onl une aiMe tfite MS prite 1 loInnlA sur l'une quelconque dn trois dtollt», cl leur» lomimt» A' el B' pcîi k lOlonié lur Iti deui lulrei, lont jquJTilHili.

43. Deux lélnjdrM qui onl 1«UT «nmineL lur cl» mtmn droflci (El. iï), mail pour letquall l'irSle MN nVit pit la mtme, sont praporlionncla lui loogueura de »s.

lU .■mnvj,ac

507. Ji l'on coupe vne pyramide par ttn plan parallèle à sa base, le tronc qui reste, quand on a enlevé la pyramide partielle, équivaut à trois pyramides ayant toutes même hauteur que le tronc, tt pour base, l'une la grande base ABC du tronc, l'autre la petite base DEF, et la troisième une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

r Considérons d'abonl un tronc de pyramide triangulairo DEPABC. Jo mène le plan EAC qui décompose le tronc en deux pyramides, l'jine triangulaire EABC, l'autre quadrangulaire EDAGF, Je mène 1 1 diagonale DC du quadrilatère DACf, puis le plan EDC; ce plan décompose la pyramide EDACF en deux pyramides triangulaires EDCP, EDAC. Le tronc est actuellement décomposé en trois pyramides EABC, EDCP, EDAC. La première [sommet E) a la grande tn«e ABC du Ironc et même hauteur. H, que celui-ci ; la seconde EDCF ou CDEF (sommet C) a la petite base du tronc et même hauteur (|ue lui ; ce sont les deux premières pyramides annoncées, il reste la pyramide EDAC qui équivaut à la troisième pyramide ïn nonce e.

Pour le démontrer, je mène par le point E une parallèle à DA, qui rencontre AB en I;ietii-eIC.IU. La pynimideEADC est équivalente h la pyramide l\ UC qui a ta même base, ADC, et la même hauteur [les sommets E. I, étant sur une même parallèle au plan de la base]. Li pyramide lADC peut être considérée comme ayant le sommet D et l> base lAC; elle a ainsi même hauteur que le tronc; it reste à prouver que sa base lAC est moyenne proportionnelle entre les bases ABC, DEF. Ed effet, les triangles lAC, ABC ont le sommet commun Cet leurs bases sur la même droite AD; ils ont même hauteur^

et leur rapport est égal à celui de leurs bases; tttt^ tt • Menons

AIG AI

IR parallèle h GG; le triangle AIK est égal au triangle DËF; car ces

Irianj^les, qui sont équiangles^ ont le côté AI=DE. Les triangles

A 1 K , A IC, ont le môme sommet 1 et leurs bases sur la même droite AG;

Aie AC ^, . ^ ^ „^ ,.,, ^ ,^^ AB AC

\i,/^= TT7' ^i^ïs à cause de IK parallèle à lîG, on a —r = t7^; AIK AK * ' Al AK

. AUC Aie AIG . ri,., ^n ,

"0"c--7-7 = ---==-— — ; donc enfin le triangle AIG est moyen Aie AIK DEF

proportionnel entre les deux bases ABC, DEF, du tronc de pyramide. La pyramide EDAG = DAIG équivaut donc à la troisièino pyramide annoncée.

â* Gonsidérons maintenant un tronc de pyramide polygonale dont nous désignons les bases par B et b, et la hauteur par H. On peut achever la pyramide dont ce tronc est détaché, puis construire une pyramide triangulaire de môme hauteur et dont la base B' équivalente à B, soit sur le môme plan que celle-ci (faites une figure). Le plan qui produit la section b de la première pyramide produit dans Tautre une section équivalente b'. Les deux pyramides entières sont équivalentes comme ayant des bases équi* valentes et môme hauteur ; les deux petites pyramides sont équivalentes pour la môme raison; donc ces dernières pyramides enlevées, il reste deux troncs équivalents. Mais le tronc de pyramide

triangulaire équivaut, d'après 1% à ;rHxB' + -lIxy+rH

X ^ ^'b*i le tronc de pyramide polygonale équivaut à la môme

somme, par suite à la somme égale -nxB-j---Hx6+rH

X V^1Ï6. Or cette dernière somme comprend les trois pyramides polygonales dans lesquelles doit, suivant l'énoncé, se décomposer^ le tronc de pyramide polygonale proposé.

50B. RÉSUMÉ. Si V désigne le volume d'un tronc de pyramid à bases parallèles, H la hauteur, B Taire de sa grande base et

celle de la petite, onaV=-Hx(B + 6 + v/Bx/>)«