LIVRE VI

étant égaux chacun à chacun^ on peut remplacer dans ces égalités chaque angle par son symétrique; on a donc A'S'C = AS'B' + B'S'cy, ou A'S'C'+A'S'B'+B'S'C = 4 droits. Cela étant, le point S est dans le plan A'B'C; car s'il était hors de ce plan, il serait le sommet d'un angle trièdre S'A'B'C, et on aurait A'S'C < A'S'B' + B'S'C, ou A'S'C + A'S'B' + B'S'C < 4 droits; ce qui n'est pas.

2* CAS. s fCest pas dans le pion ABC. Alors S est le sommet d'un angle trièdre SABC, et on a ASC < ASB + BSC ou ASC -f- ASB + BSC < 4 droits. Mais alors on a aussi A'S'C < A'S'B' + B'S'C ou A'S'C+ A'S'B' + B'S'C < 4 droits. Cela étant, le point S' n'est pas dans le plan A'B'C; c'est le sommet d'un angle trièdre S'A'B'C.

Corollaire I. A chaque trièdre SABC d'un polyèdre correspond un trièdre S'A'B C du polyèdre symétrique.

GoROLLAiRB II. A chaquc face ABCDE d*un polyèdre correspond une face symétrique A'B'CD'E' de Vautre polyèdre {ïi^, du n* 20).

En effet, les sommets D, E, étant dans le plan ABC, les sommets D', E', symétriques de D et de E, sont dans le plan A'B'C.

Tltéorèinc.

19. Deux angles trièdres symétriques SABC, S'A'B'C, sont égaux dans toutes leurs parties^ mais ne peuvent pas coïncider. (Fig. précéd.)

En effet, l' ces deux angles trièdres ont leurs faces égales chacune à chacune (n* 17), et par suite leurs angles trièdres égaux chacun à chacun (n** 271 du Cours).

2* Ces deux angles trièdres ne sauraient coïncider. En effet, supposons que l'arête SB soit en avant de la face ASC, l'arête SB' est en avant du plan A'S'C (V. la situation des points symétriques). Mais les arêtes S'A', SIV, S'C étant dirigées de bas en haut, tandis que SA, SB, SC sont dirigées de haut en bas, il faut d'abord pour essayer de faire coïncider les trièdres faire tourner de 180" la figure S'A'B'C autour d'un axe (B'^' parexemple) perpen-

(*) Tracez par la pcr.pce sur le pan A'S'C les demi circonférences ayant pour rayons S'6', A'^', et C'//. Le point B' restant llxe, les points S', A', C parcourent ces demi-ci rconfcren ces jusqu'aux extrémités S'j, A'i, C\ des diamètres S'6'S'„ A'/»'A'„ C'^'Cj. S' pa^se au-dessus de A'C, C à gauche et A' à droite du lecteur. (V.oy. le n* 24 ci-aprè.^.)

diccilaire enb'm plan A'S'G'C). Cela fait, lesarêtes deS'A'B'C seront dirigées de haut en bas coiïime celles de S ABC, rareté S'B' étant toujours en avant de A'S'C. Mais alors évidemment la face A'S'B' se trouvera à droite de A'S'C tandis que son égale ASB est à gaucho de ASC. La coïncidence n'est donc pas possible comme il a été expliqué n" 272 du Cours. Les triôdres sont dits symétriques (*).

Tliéorcme.

20. Deux polyèdres symétriques ont leurs faces égales chacune à chacune y et leurs angles polyèdres égaux y mais symétriques y c^est^ à^dire ne pouvant pa^ coïncider (**).

i* Les faces symétriques sont égales.

Considérons deux faces symétriques ABCDE, A'B'C'D'Ë' (q* 18^

corollaire II). Ces deux polygones ont les côtés égaux chacun à chacun, comprenant deux à deux les angles égaux.

Si on retourne le plan A'B'C'D'E' sens ^dessus dessous, le polygone A'B'C'D'E', disposé alors comme le polygone ABCDE, coïncidera avec ABCDE. Ces deux faces sont donc égales.

2" Les angles polyèdres sont égaux dans toutes leurs parties^ mais ne peuvent A' B' pas coïncider.

Nous avons démontré cette proposition pour deux angles trièdres. Soient deux angles polyèdres SABCDE, S'A'B'C'D'E' (faites la figure). Ils ont les faces égales chacune à chacune. Ces faces égales comprennent deux à deux des dièdres égaux; par ex., Tangle dièdre SA des faces ASB, ASC est égal à Tangle S'A' des faces égales A'S'B', A'S'C. En effet, imaginons les plans BSC, B'S'C intérieurs

(*) Deux trièdres SABC, S'A'B'C sont dits alors symétriques parce que si on les place l'un contre l'autre de manière que la face A'S'C coïncide avec son égale ASC, les deux figures sont alors symétriques de position par rapport aa plan ASC. L*aréte S'B' par ex. est symétrique de SB par rapport à ce plan ASC. C*est ce que Von vérifie aisément.

[**) Symétriques pour la raison indiquée dans la note précédente.

MTBE Tl,

Biix angles poljMres ; ils déterminent denx angles triÈdres SABG, S'A'B'C qnï ont toutes leurs faces égales chacune à cliactine et par suite leurs angles dièdres égaux chacun à chacun; doncdièdi^SA = dièdre S'A'. Les deux angles polyèdres SABCDE, S'VB'C'D'E' sont donc égaux dans toutes leurs parties. Ils ne peuvent cependant pas coïncider; car s'ils coïncidaient, les angles triëdres intérieurs correspondants tels que SAliC, S'A'B'C coïncideraient; ce qui est impossible (n° 19).

Tbëorème.

Ql.Deux polyèdrei symétriques sont équivalents. Considéronsd'abord deux pyramides triangulairesSABC.S'A'B'C. !■ Les bases ABC, A'B'C sont égales.

2° Soit SOI» hauteur de SABC. Le point étant sur le plan j ABC, le point 0' symétrique de est sur

le plan A'B'C (n' 18). Je trace AO, BO, CO et S'Cf, A'O', B'O', CO'. Les angles S'O'A', S'O'B', S'O'C sont droits comme ^ leurs symétriques SOA, SOB, SOC^donc 7 S'O' est perpendiculaire au plan A'B'C; c'est la hauteur du tétraèdre S'A'B'C.

De pins SO = S'O' (n» 16). Les deux tétraèdres SABC, S'A'B'C, ayant des hases égales et des hauteurs égales, sont équivalents.

Corollaire. Deux polyèdres symélri' ques sont équivalents.

En effet, ils sont décomposables en pyramides triangulaires symétriques équivalentes deux h deux.

S2. Rkiiahqiib. Si deux polyèdres symétriques sont dérangés de la position qu'ils occupent par rapport au plan de symétrie, los relations d'égalité existant entre leurs éléments précédemment Symétriques existent toujours. Les théorèmes précédents s'applj. quent donc en général à deux polyèdres qui sont placés ou peuvent être placés de manière que leurs sommets soient deux à deux symétriques par rapport à un plun.