parallèles i une droite donnée

MESURE DE Lk SURFACE ET DU VOLUME d'uNE SPHBR£>

545. Inscrivons dans un demi-cercle un demi-polygone régulier

ABCD, et faisons tourner la figure autour du diamètre ÂF, comme axe. Tandis que la demi-circonférence décrit la surface d'une sphère, le contour polygonal décrit une surface courbe, que nous appellerons une ««ryace polygonale^ à cause de la nature de sa génératrice. Quand le :t3ombre des côtés du contour polygonal augmente indéfiniment, le ^X)ntour se rapproche indéfiniment de la circonférence, et la surface ^polygonale de la surface sphérique. On admet comme évident, que le nombre des côtés du contour polygonal devenant infininient Igrand, la différence entre la surface polygonale et celle de la sphère devient moindre que toute quantité donnée. En d'autres tenues:

544. DBFiNnroN. La surface d'une sphère est la limite vers lamelle tend la sut face décrite par le périmètre dun demi-polygone régulier inscrit dans un demi-cercle qui fait une révolution autour de son diamètre^ quand le nombre des côtés du polygone augmente indéfiniment.

Le demi-polygone engendre dans cette révolution un certain solide que nous appellerons, pour abréger, solide polygonal. Quand le nombre des côtés aup^mente indéfiniment^ le volume

S56 COURS OB GËOMÊlftlB.

de ce solide polygonal se rèipproche de celai de la sphère. Les mêmes considérations que précédemment conduisent à cette définition :

545. Le volume d'une sphère est la limite vers laquelle tend le volume engendré par un demi-polygone régulier inscrit dans un demicercle qui fait une révolution autour de son diamètre comme axe.

Nous allons chercher la mesure d'une surface polygonale et d'un volume polygonal tels que ceux dont nous venons d'indiquer la génération.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que les côtés du contour polygonal sont égaux entre eux ; ce contour est alors ce qu'on appelle une ligne polygonale régulière. Afin de pouvoir mesurer certaines parties de la surface de la sphère» nous mesurerons la surface engendrée par un nombre quelconque de cordes inscrites égales entre elles; de même pour le volume.

Tkéorènie.

546. La surface engendrée par la révolution d*une ligne polygonode régulière tournant autour d* un diamètre AFdu cercle circonscrit^ est égale à la circonférence du cercle inscrit ^ cire. 01, mul^ tipliéeparla projection delà ligne polygonale sur Taxe.

Ex. : surface ABCDE = cire. 01 X AE'.

Les côtés de la ligne polygonale, quel que soit leur nombre, n

peuvent avoir que l'une de ces positions être adjacents à Vaxe^ comme AB; non ad jacents à Vaxe sans lui être parallèles cornmeBG; parallèles à Vaxe^ comme CD K î' H c» v ¥v Nousallons déterminer la surface e

par un côté dans chacune de ces position i** La surface décrite p.:r AB, que nous appellerons surf. AB t st celle du cône engendré par la révolution du triangle rectang ABB' autour de AB'^ on a donc (ii» 32(5)

AB surf. AB = StiBB' X «Y = Sj^BB' X Al " (1)