LIVRE VII
Cela posé, observons que les triangles rectangles, ABB', OIA, ayant un angle aigu A commun, sont semblables; on conclut
de là que^ = ~r; d'où Ton tire BB' X AI = 01 X AB'. En 01 AI
remplaçant dans l'égalité (l) BB'xAI par 01 X AB', on trouve
surf. AB = 27iOIxAB',
c'est-à-dire la surface du cercle inscrit multipliée par la projection AB' de la ligne ÂB sur Taxe.
- i* La surface décrite par BG est celle du tronc de cAne engendré par la révolution du trapèze BCC'B' autour de VG : le point I est le milieu de BC; on a donc (n* 330)
surf. BG = 27:.IHxBG. (2)
Cela posé, menons BK parallèle oUégafa à B'C; les triangles BCK, OIH.sont semblables conime ayant les côtés respectivement
perpendiculaires; on a donc— = — ; d'où résulte BCxIH =
OIxBK = OlxB'G'. Si nous remplaçons dans Tégalité (2) BGxlH parOIxB'G', nous trouvons surf. BG=2iiOIxB'C'; ce qui est bien la mesure annoncée.
3* Considérons la surface décrite par le côté CD parallèle à Taxe. C'est la surface du cylindre engendré par la révolution du rectangle CDD'C autour de CD'; on sait que cette surface, surf. CD = 2irCC' X CD' = 2itOI X CD'; ce qui est encore la mesure annoncée.
La surfoce décrite par un côté, quelle que soit sa position par rapport à Taxe, est donc égale à la circonférence du cercle inscrit multipliée par la projection de ce côté sur l'axe. Si l'on ajoute les sarfoces décrites par différents côtés, lesquelles sont absolument distinctes les unes des autres, on arrive au même résultat. Ex. : surf. BCDE = cire. 01 X (BC + CD' + D'E') = cire. 01 X B'E'; c'estp-à-dire la circonférence du cercle inscrit multipliée par la projection sur l'axe de la ligne polygonale génératrice. C. Q. F. D.
Théorème.
547. La surface d'une sphère est égale à la circonférence d^un de ses grands cercles multipliée par son diamètre',
surf, sphère = cire. Rx2R.
En effet, inscrivons dans le demi-cercle ACF qui engendre la sphère (fig. précédente) un demi-polygone régulier quelconque, ABCD£F. Nous savons que la surface décrite par ABCDEF,
surt ABCDEF=2iiOIxAF.
Imaginons que le nombre des côtés du demi-polygone augmente indéfiniment; on sait qu'alors la surface engendrée par le contour du demi-polygone tend indéfiniment à se confondre avec la surface de la sphère, tandis que le rayon du cercle inscrit tend vers le rayon de la sphère; la projection AF de la ligne polygonale reste la même; AF = 2R. L'égalité (1), constamment vraie, quel que soit le nombre des côtés du demi- polygone^ devient à la limite
surf. sph. = 2iïR X 2R =JitnTXK ^■^
548. Remarques. La surface d^une sphère est égale à quatre grands cercles.
SoitD= SRle diamètre delà sphère; D*=:4K^ d'où surface sphère^icD*. la surface d*une sphère équivaut à celle dtun cercle qui aurait pour rayon le iiamètrt de cette sphère, p' 7 <" -
349. De la zone. On appelle zone la partie de la surface d'une
sphère comprise entre deux plans parallèles.
^ Les deux cercles, cercle DI et cercle AH, qui
comprennent une zone^ sont les bases de oetta
^ A' zone; la distance IH de ces deux bases est la
hauteur de cette zone.
L'un des plans parallèles qui comprennent une zone peut être tangent à la sphère, au point C par exemple. Alors la zone est dite à une base; exemple:
L1VR« Vil. 259
zone AGA' et zone 6CB'; c'est ce qu'on nomme quelquefois une calotte sphérique.
La zone ABB'A' est la surface que décrit Tare AB en faisant une révolution autour de l'axe IH.
Tliéorème.
5S0. La surface d'une zone est égaie à une circonférence de grand cercle multipliée par la hauteur de cette zone;
surf, zone AB = SuR x IH ; (OC=R).
En effets imaginons qu'on inscrive dans l'arc AB une ligne polygonale régulière ANB; surf. ANB= SirOK XlH (i) (n* 346.)
Imaginons ensuite que l'on double indéfiniment le nombre des cAtés de ANE; la surface décrite par la ligne polygonale^ tend indéfiniment à se confondre avec la zone^ tandis que OK tend à devenir égal au rayon de la sphère; l'égalité (i), constamment vraie, quel que soit le nombre des côtés de la ligne polygonale^ devient \ la limite
surf. zone=2TiRxlH=:27rRxH,
si nous désignons par H la hauteur de la zone.
351 . Corollaire. Deux zones quelconques de la même sphère sont entre elles comme leurs hauteurs.
Remarque. Des arcs égaux ptis en divers endroits d'une demi-eireonférenee engendrent des zones Inégales; la plus grande de ces zones est engendrée par l'arc dont la corde est parallèle à Taxe; car cette corde a la plus grande proleetioD.
Tltéorème.
352. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier ABCDE» tournant autour d'un diamètre AF du cercle circonscrit, est égal à la surface décrite par le contour polygonal, ABCDE^ basb BU SBCTBUR^ multipliée par le tiers du rayon du cercle inscrit (*).
{*) Nous appelons secteur polygonal régulier celui qui a pour base une ligne poiygtmah riguliire.
260 COUBS DE GÉOMÉTRIE.
Par exemple, vol. ABCDE= surface ABCDE x- 01.
Le secteur polygonal peut se décomposer en autant de triangles
isocèles ÂOB, BOG^ etc., que sa base a de côtés; ces triangles engendrent des volumes distincts les uns des autres que nous allons évaluer. Pour cela, nous remarquons que tous ces triangles ont un sommet commun situé sur Taxe; que le côté opposé à ce sommet dans chaque triangle ne peut avoir^ quel que soit le nombre des triangles^ que l'une de ces trois positions : être adjacent à l'axe comme AB; non adjacent sans être parallèle^ comme BC; parallèle comme CD. Nous allons considérer ces trois cas.
V Le côii AB est adjacent à Vaxe. Le volume engendré par le
B triangle OAB^ que nous appellerons vol. OAB^ est la
iAN. somme des volumes des deux cônes engendrés par les
A ^^^"^^ triangles rectangles ABH^BHO,tournantautourd6A0.
On sait que vol. ABH = - ic BH* x AH
voLOBH=licBH*xHO.
La sooune vol. ABO = J « BH* x AO, (1)
OU vol. ABO = i itBHxBHxAO. Or le produit BHxAO exprînm^
le double de la surface du triangle ABO; la même surface 2ABC^ j quand on prend AB pour base, a pour, mesure ABxOI; don ^ BHxAO = ABxOL Si Ton remplace BHxAQ par ABxC^^ dans l'expression de vol. ABO, nous aurons
vol. ABO = ^ r.DH X ABx OL
Mais, d'une autre part, la surfoce décrite par la ligne AB (surf. AB^^^ B'étant autre que la surface convexe du cône engendré ptr I^
triangle ABH, on a
