LIVRE VII

surf. AB=^BHx^=itBHxAB.

En remplaçant icBHxAB par surf. AB dans vol. ABO^ oa trouve enfin

vol. ABO=:surf. ABx^ 01 ;

cequi est la mesure annoncée.

Remarqub. Dans cette démonstration^ nous n'avons pas supposé le triangle AOB isocèle.

■i~ ^ Le côté BC opposé au sommet qui est sur l'axe n'est ni adjacent, ni parallèle à Vaxe.

Ce côté BC prolongé rencontre Taxe en M. La figure CMBO

tournant autour de l'axe OM, on voit que

vol. OBG=vol. OMG— vol. 0MB.

Chacun des triangles 0!aC, 0MB se trouvedans le premier cas (i*). On a donc vol. OMC =3

surf. MC X 5 01; vol. OMB= surf. MB X ir 01 j donc vol. OMC —

vol. 0MB, ou vol. OBG = i 01 x (surf. MC-surf. MB)= \ 01

surf. BC j ce qui est la mesure annoncée.

3* Le côté opposé au sommet qui est sur l'axe est parallèle à cet

cta:e.

Le volume décrit par la révolution du triangle OCD est égal au

cylindre engendré par le rectangle CNDP^ 1 D diminué des deux cônes engendrés par les

deux triangles COP, DNO.

vol. COD=vol. CDNP— vol.COP— vol.DNO.(l) voL CDNP=7c.GPVPN=îdÏÏ^XPN.

voL COP=^ Tr.Cp*xPO= ^^l^PO.

?ol.DNO= - «DiT X0N= - «01 XON.

^ M ^ .ti>^ ^ ^'n ^'^r ^</ fU'tf^^

262 COUBS OE GÉOHÉTBIE.

D'où l'on dédnit, en vertu de l'égalité (1), y ^ .

vol C0D=^1* (PN— 5 PO— i on) =ic.Ôi* ( PN — |PN

ou vol. COD=| ïi(n*xPN.- f • ■ ' r." v(|) '/': ^i

Mais 8urf.CD = 2TtCPxPN=2itOIxPN; ^.

d'où surf.CDxJoi=5i^xPN; '

donc enfin vol. COD = surf . GDx - OIj

ce qui est la mesure annoncée.

Surf. AB^ surf. BC^ surf. CD» etc.^ étant distinctes comme vol. OAB^ vol. OBC9 etc.^ on trouve en additionnant ces volumes pris en nombre quelconque :

vol.OABCDE = (surf. AB +surf. BC+ surf. CD+surf. DE) X - 01

= surf. ABCDEx^OÎ. G. Q. F. D.

Tliéorème.

S53. Le volume d'une sphère est égal d sa surface multipliée par le tiers de son rayon.

Inscrivons dans le demi-cercle ACE, qui engendre le volume de

la sphère, un demi-polygone régulier ABCDE« Ce demi-polygone^ tournant avec le demicercle, engendre un volume que nous venons d'apprendre à évaluer.

vol. AlîGDE = surf. ABCDE X^ 01. (i) Imaginons que l'on double indéfiniment le nombre des côtés du