UVRE VII
demi-polygone; le volume engendré par ce demi-polygone tend / k 86 confondre avec le volume de la sphère (n* 345),' tandis que sarf. ABGDE tend vers sa limite qui est la surface de la sphère, et -, '''que 01 tend vers le rayon R de la sphère. L'égalité {i), constammeut vraie, quel que soit le nombre des côtés du demi-polygone régulier» devient à la limite
vol. sphère =; surf, sphère X - R. C. Q. F. D. ^ yp /) <^
Remarque. Surf, sphère = 4«R*; donc vol. sphère =z - nR». J^ ^ ^
Soit D le diamètre de la sphère ; R = - ; R* = •-- ; d oil résulte
vol. sphère = \it x? = -^t tcD*, ou \^/\' ' /^ --^ ^ /^ /
vol. sphère = ^ « D». -^J/J^
3!>4. Sbcteqr sPHÉRiQUE. On donne le nom de secteur sphirique au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d'un diamètre adjacent ou extérieur; ex. : secteur UAb ou secteur OCB (fig. ci-après).
Tliéorèiite.
S55. Le volume d'un secteur sphérique est égal à la zone qui lui sert de base, multipliée par le tiers du rayon de la sphère.
sect. sphér. OBG = lonc BC x a OB. (1)
En effet, inscrivons dans Farc BC une li^ne polygonale régulière BMC {*); le secteur polygonal OBMG engendre un volume dont nous connaissons la mesure (n* 35^).
vol. OBMG = surf. BMG X J 01 f *). (1)
(*j Marquez le poiut M au milieu de Tare BC et tirez BM, MC. n 01 estrapoUièuie de la ligue polygonale BMG.
Imaginons que l'on double indéfiniment le nombre des côtés ; A le volume polygonal OBMC tend à se confondre avec G' le secteur sphérique; tandis que surf. BMC tend à B se confondre avec la zone BC, et 01 à devenir égal ' au rayon OB = R de la sphère. L'égalité (1), constamment vraie^ quel que soit le nombre des côtés de la ligne polygonale régulière inscrite} devient à la limite.
sect. sphér. OBC = zone BC X - R. C. Q. F. D.
RnuRQUB. Soient Rlerayon de la sphèreetHla hauteur de laione (H est la projection de Tare BC sur Taxe); zone BC=2icRxH :
sect. sphér. OBC = 2irR X H x ^ R = ^ vR\ H.
Voy. les Exercices^ page 268.
Tltéorème;
k Le volwne engendré par le segment circulaire BMD est égal au sixièmi du cercle qui a pour rayon la corde du segment, multiplié par la prqfection de cette même corde sur Vaxe
vol . seg. BMD = i îcSD* x B'iy.
En effet, le volume engendré par le segment circulaire BMD est la diflérenoi des volumes engendrés par le secteur circulaire OBMO et par le triangle l«ocèle OBD. Or on sait que
sect. sph. OBMD = \ ^SÔB* x B'D' vol. ODD = \ îûîî* X Biy (n» 352, S»),
vol. seg. OBM D=l r.B'D' X (OB* — 01*) ss
I lîB'D' X BÏ*.
BD , -» Dd' 2 1 î 1
Donc
vol. seg. OBMD = - icliD* X B'D'.
LIYRE YIL ^65
La Bphèro dont BD serait le diamètre aurait poar volume - îîËDD*; le volume
engendré par le segment BUDest à cette sphère dans le rapport de B'O' à BD.
Tkéor^iiie.
SS V. — le volume d^un segment de sphère, à bases paraUèlH^ est égal à la demi-somme de ses bases multipliée par leur distance, plus le volume de la sphère qui aurait cette distance pour diamètre.
Le segment de sphère dont il est question est la partie du volume de la sphère comprise entre deux plans parallèles, cercle DD', cercle BB' (figure précédente). Ce volume est la somme du volume engendré par le se^'ment circulaire BMDj et du tronc de cène engendré par la révolution du trapèie BDD'i;'.
Or voL seg. BMD = ^^* X B'O'.
voL BDDVssî «B'D' (ÏÏi?* + DD** + BB'x DD*) (n» 82$); en additionnant après avoir remplacé -par- x 2, dans la seconde égalité» oe
OQl amène le facteur commun - kB'D', nous trouvons
TOI. seg. BMDD'B' = l «B'D' (bD* + ÎBÎ?* + 2DD* + 2BB' x DD') . (1)
Mais dans le triangle rectangle BDK, nous avons BD =DK + bK* ss iPî? + Î5P; or BK= BB' — DD'; ÏÛê* = BB'* + DD'* — 2BB' x DD'i
done BD = B'iy + BB' + DD' — 2BB' X DD'.
En remplaçant IH) par cette valeur dans Tégalité (1), on trouve en rédui-
f ant vol. seg. BMDD'B' = l «B'D' x (5^'* + 3BB'* + 301?*) i
CD voL seg. BMDD'B' = 1 7517'* + J «B'D' (bP* + DÛ'') . C. Q. F. D.
L'un des cercles qui limitent le segment peut être tangent à la sphère; alors le segment n*a qu'uue base; on n'a qu'à supprimer une base dans IVgalité pré* eédente« à faire DD'=: 0^ par exemple, pour avoir l'expression du volume dans ^ cas particulier dont il e«t question.
APPLICATIOm.
Problèmes résolus et Exercices proposés»
Problème.
La terre étant supposée sphérique, sachant que le mètre est la lOOOOOOOi**» partie du quart du méridien terrestre, trouver en kilomètres le rayon de la terre, et sa surface en hectares.
Appelons H le rayon de la terre; il re'sulte de l'énoncé que la longueur d*un
méridien ou 2xR = 40000000 mètres; donc R = ^^^^^^^^^' = ?25!!2^ . «n
2ic «
calculera cette longueur à moins d'une unité. Pour obtenir en hectares la surface qui est égale à 4icR* = 2icR x 2R s 40000 X kilomètres carrés, il
suffit d'observer que i bectare=10000 métrés carrés, et 1 kllom.carréslOOOOOO
(40000^1 X 100 mètres carrés = 100 hectares; le nombre des hectares est donc
Voy. le calcul très-simple de ces valeurs an n* 23 du complément.
Problème.
Onaun aérestat sphârique de 4 mètres de diamètre; on remplit dk hydrogène impur dont le mètre cube pèse 100 grammes. Le taffetas verni, dont est formée tenveloppe, pèse 250 grammes le mètre carré. On demande combien il faut d'hydrogène pour remplir cet aérostat, et à quel poids il peut faire équilibre, sachant qu'un mètre cube d'air pèse 1300 grammes.
La surface d'une sphère de rayon R =47cU*i dans notre question R = 2 mètres; la surface de l'aérostat est donc 4ic x 2< = 16« mètres carrés : le poids de l'enveloppe est donc ^gal à 250>'* x IGic. Le volume intérieur est égal à
7 itR* = — : — = — - mètres cubes. Le poids de Thydrogène qui remplit co
on —
ballou est donc lOO*'' X -r'f tandis que le volume d'air qu'il déplace pèse
32w 1300<r X -r— ^^ dernier poids doit faire équilibre au poids de l'enveloppe^ aa
poiJa de l'hydrogène iniérieur, et à un certaio poids additionnel s. On a donc
1300 x-r- = 250X ICtc + lOOx^ h x. D'où on déduit la valeur de x.
Problème.
Une sphère de cuivre de 0"',18 de rayon, creuse^ contient une sphère de pfctiite de 0,05 de rayon, de telle manière qu'il n'existe aucun vide entre les deux sphères; la densité du platine est 2l,S3, celle du cuivre S,BS. Calculer le poids de la masse ainsi formée.
Hou» prendrons pour unité linéaire le centimètre, et pour unité de poids i^
