LIVRE VU

Théorème.

999, La 80mt}*e des angles d'un triangle sphérique est comprise entre deux droits et six droits.

Kn tiret, soient Â, B, C les angles du lrlani:le; a\ h\ c*, les côt(?s opposé» dulriaiigle polaire. On saii que A -!-«'=: I8O0; B + 6'=180«; C + c'=180*; donc A+B+ C 4- a' + ^' + 0' = iSu- ; 3 ; A+B -^ (:= iSO'x 3 - (a'+^'+O. Donc, 1" la somme des mesures de A, B, C est moindre que trois demi-circonférences, mesure de six angles droits; d'ailleurs a' 4- 6' + c' est moindre qu'une circonf.; d'où il résulte qae 3/2 cire. — (a' + 6' -h c') vaut plus qu'une demicirconférence, mesure de deux droits; donc A + B + G > 2 droits; donc enûo 2*'<A-»-B + C<6 droits. C. Q. F. D.

S 9 9. Corollaire. La somme B + G, de deut angles d'un triangle sphé» tique est comprise entre deux droits moins le troisième A, et deux droits plus ee troisième,

2** — A<B-f C>2*'-i-A, ou 180«-A< B+C< IW + A.

En effet, de A + B -i- G> 2*^ on déduit B + C > 2'' — A. D'un antre c6té| 0*1 6', c' étant ies côtés du triangle polaire, l'inégalité a'<b' -{-d revieot à

d'où B + C<2*'fA ou B4-C<I80»+A.

s^«. Remarque. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, chaque côté du triangle ou du polygone sptiérique moindre qu'une demi-circonférence; nous ferons observer cependant qu'il existe des triangles dont certains côtés sont plus grands que des demi-circonférences. En effet, un triangle ABC ayant ses trois côtés moindres que des demi- circonférences, si l'on prolonge l'un de ces côtés, AC9 de manière à actiever la circonférence ACA'DA, on peut remarquer que le triangle BAC étant retranché de rhémisphère supérieur, il reste un

triangle formé par les côtés BC, BA et l'arc CA'DA > qu'une demi-circonférence. Mais il est facile de voir qu'à part les côtés BC. BA communs aux deux triangles, toutes les parties du second se déduisent de celles du premier (les angles sont supplémentaires, et CA'DA=1 cire— CA). Ayan^ déterminé les éléments du triangle ordinaire BAC, on connaît donc les él.'ments de l'autre. Toute question relative à ce dernier se ramène aisément à une qucbtion relative au premier.

DISTANCE DB DEUX POINTS SUR LA SrUÈRE*

TBiéorènic.

s 91 . i> plus court chemin d'un poirJ à un autre sur la surface de la sphère est l*arc de grand cercle qui Joint ces deux points. Nous nous appuierons sur deux propositions auxiliaires suivantes 1* et 2*.

270 COURS DE GÉOMiTRIE.

1* Lu plus emtrte dtstance du pôle P d'une circonférence, tracée mr h sphère^ à un point de cette circonférence, est la même, quel que soit le point considéré. Par exemple, la distance du point P au point À est la même que la distance de P à B.

Ola résulte de la symétrie parfaite d*une surface sphérique, et on regarde cette proposition comme évidente.

On peut, si l'on veut, l'expliquer comme il suit : Imaginons ane seconde surface sphérique de même rayon que la proposée, recouvrant celle-ci, les mêmes points et les mêmes lignes étant marqués sur les deux surfaces. Faisons tourner la surface enveloppante autour de PP' comme axe; le point P res* tant fixe, le point À, parcourant la circonférence BCA, arrive bientôt en B. Mais alors la plus courte distance entre P et A^ quelle qu'elle soit, est évidemment égale à celle de P à B; or celle-ci n'a pas changé parce que la surface sphérique a tourné; donc quelle que soit la position de B sur La circonférence^ la plus courte distance entre P et B est la même qu'entre P et À.

2^ Deux arcs de grands cercles, PA, PD, étant issus du même point, si PD > PA, la plus courte distance sur la sphère entre 1^ et M est plus grande que la distance entre P et X {marquez un point D sur BP').

Du point P comme pôle avec la corde PA comme rayon, décrivons une ci^ conférence; cette ligne rencontre l'arc PD au point B situé entre P et D (PB .= PA doit être moindre que PD). Le plus court chemin de P en D, quel qu'il soit^ rencontre quelque part la circonférence BCA; supposons que ce soit en G. Ce plus court chemin se compose du plus court chemin de P en G, qui est égal au plus court chemin de P en A (!"}» plus du chemin de G en D ; II est donc plus long que le chemin de P en A. C. Q. F. D. Soient maintenant A et B deux points quelconques de la surface de la sphère. ^ Admettons que le plus court chemin entre A et B ne se fasse pas en suivant exactement l'arc AB; et soit M un point de ce plus court chemin situé hors de l'arc AB. Je joins le point M aux points A et B par des arcs de grand cercle, AH, MB. Le plus court chemin de A en B se compose, d'aprèà l'hypothèse, da plus court chemin c de A en M, plus le plus court chemin c' de M en B; ce chemin égale c + c\ Il résulte de là que l'arc AM est plus petit que Tare AB, car si l'on avait AM = AB, ou AM > AB, on aurait, d'après 1* ou 2% c =c + C, ou c>c-rc'; ce qui est absurde. AM étant moindre que AB, je puis prendre sur AB un arc AN =. AM. Cela posé, j'observe que dans le triangle AMB, on a AB < AM + MB, ou AN + NB < AM + MB; d'oûNB < MB. L'arc NB étant moindre que MB, il résulte de 2* que le plus rourt chemin de N en B que nous api/Cllerons c", est plus court que le plus court chemin c^, de M en B. Nous conclurons de là que le plus court chemin de A en B, en passant par N, ou c + c" (AN = AM) est moindre que c 4- c', qui est le plus court chemin de A eu B, en passa.vt par M. L'hypothèi^e que le plus court chemin de A en B passe par un point M, situé hors de l'arc AB, est donc fausse, puisque nous trouvons un autre chemin plus court que celui-là; donc lepiiu court chemin ne quitte pas l'arc AB. C. Q. F. D.

UrRE TIL

•••. Dtfriicmoi». On ippelle /'kmmi la portion PAP'B de Ift ttulkee d'aoe P sphère eomprlte entre ieta. deml-gruidB ceielei qui h

~ târmiDent k ud diamètre comman.

ITn ançUt tphérique ttt la partie dn Totume de la j (phère comprima entra cet mêmes deml-grandi eerdet, et ' i laquelle le tate»ii aert de base.

Une pyramtdf tphériqu* eat une partie do Tolnme de la aphère eompriae entre lea plana d'an angle aotide, dont lommel eat le centre de !a aphère, et le pcdygone w InteieepU par let tacee de cet angle. Ce poljgane eat la bu* de la pyramide.

Pour qiw dtux pyramidn tphériqtut cobieident, il faut tl il tufjU qut Uun tatei eoiiieiâtnt. (Deux arca de grands eerelea ne pouvant pal ooiadder aaiia que leur* oentiea coïncident.]

Bl l'iIRB b'VM VUSBAD, d'uH POLTGONI, du O'un TRI1I1GLK SPa^lQUI.

Thévrèiue.

tl à la ipMra enlisa tommt tt bien, comme l'arc A6 qui f

ronplf APB de c* eiVTt ett ûagU «il

* m*. U fttttau PAP'B M futau «ri d quatrt droiii, o i'ia eireonfinnteetUiirt.

En effet, auppoaona qu'une commune meaure Al lolt contenne S tola dant l'arc AB, et 34 fois dans la elrconlèrence ABA'O'; on

ai-^ . „ ,.,, ^^ TT- l'^f «haque point de diylalon

Gjrc AIÏA u 34

de l'arc AB et de la circonrérence, et lea points P, P', Imaginone menée une deml-clcconté renée de grand cercle, telle que l'IP't cea deml-ulfconlérencea partageront le tuaeaa PAP'B en 6 tuaeaux teli que PAP'I, BDperposBblea et par suite égaui, et la aphère tout entière eo 31 fuaeaui ëgaui àceux-ll. 11 résuliedeliqua fuseau PAP'B are AB APB q f. „ ^

:. AbA'U'

• •4, HESnnE DD rosuD. Supposons qu'on prenne pour unité lefuseauree»

tangle, c'est tnilie le fuseau dont les deux deml-grandi cercles sont perpetidl-

cutairea entre eux ; la sphère entière se compose de quatre fuseaux reclanglet.

Si on dtalgoe par F l'un de cea fuseaui, on a sphère = iP. On conclut de U

fuseau PAP'B fuseau PAP'B APB

4F ruaeau PAP'B APB

S78 COURS DE GâOMÉTBIS.

APB Mais — - est la mes^jre de l'angle APB. On peut donc dire que sï le fuseau

rectangle est pris pour unité, le fuseau a même mesure que son angle.

sus. L'unité des surfaces sphériques généi a emenl aûopiéf est le triangle iri rectangle. On appelle ainsi un triangle dont les trois angles sont droits; nous ne considérerons désormais que cette unité.

Imaginons trois grands cercles perpendiculaires entre eux deux à deux i/îj. du n* 38.'); ils déterminent sur la sphère Imit tnangl«es sphériques tri-rectangles superposabies. Si Ton appelle T l'aire du triangle rectangle on a donc

fuseau P A P'B APB

sphére=8T. II résulte de là que cette égalité, -r ^ . , . , éuui

^ sphère 4 droits

^ „ . fuseau PAP'B 8 droits ^. . fuseau PAPB t droit

vaut à celle-ei : -= = ■ ^^ ; d ou — = r-r-ïTS •

8T 2 A PB T 2 APB

Un fuseau est au triangle tri-rectangle comme le double de son angle est à un angle droit. Ce que l'on exprime autrement en disant : Si l'unité des surfaces sphériques est le triangle tri-reclangle, }m fuseau a pour mesure U double de son angle,

Bemarqdb l. Ce que nous venons de dire des fuseaux s'applique aux onglets, Funité des volumes sphériques étant l'onglet rectangle, ou la pyramide triaoguldire tri-rectangle.

Théiirèine.

S9«. Deux triangles sphériques syméli iqves ont des surfaces égales. Soient ABC, A'B'C deux triangles sphériques égaux dans toutes leuis parties, mais qui ne peuvent pas être superposés (n» 3 X). Soit P le pôle du cercle qui passe par io& trois points A, B, G; joignonsle à ces points par des arcs de grands cercles PA, PB, PC ; nous formons ainsi trois triangles isocèles PAG, PAB, PBG. Menons par le point B' un arc de grand cercle B'F, de manière que l'angle CB'P' = CBP ; prenons KFsBP, et menons les arcs de grands cercles P'A', PC. Les triangles PBG, P'B'G' sont égaux dans toutes leurs parties, car ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux (PBC = P'B'C; PC=r PB'; EC= BC); ces iriangles sont d'ailleurs isocèles; donc ils sont superposabies (n« 369) et leurs aires sont égales. De plus, nous avons AP=A'P' et l'angle ABP=A'B'F; comme d'ailleurs AB=A'B'les triangles ABP, A'B'P' sont égaux dans toutes leurs parties; ils sont isocèles; donc ils coïncident. De BAP=B A'F et BAC=B'A'C' on déduit que les angles PAC, PAC sont égaux; comme AC=A'G', APrnAT*, les triangles PAC=P'A'G' sont égaux dans toutes leurs parties; ils sont isocèles et superposabies.

De l'égalité des aires des trianârles que nous avons considérés, il résulte que l'aire de ABC=ABP+APG-BPG' cstégale à l'aire de A'B'C'=A'B P'-f-A'P'C ^U'i^'a. C. g. F. D.