LIVRE VII

ReMARQOE. Les pôles P et F peuvent être sitaés dans les triangles, on même sur les côtés; mais il résulte de Tégalité des triangles aux sommets P et P\ qui s6 lémontre de la même manière dans tous les cas, que le pôle est en même temps à l'intérieur des deu\ triangles, ou à Textérieur, ou sur un côté; on conclut facilement de là Tégalité des aires des triangles proposés dans tous les cas.

Corollaire. Deux pyramides sphériqnes symétriquesCayantponr bases des 'riang es sphériques symétriques) sont équivalentes.

Théorème.

SS». Si deux grands cercles APA', BPB' se coupent d'une manière quel*

conque sur un hémisphère APB'A'D, la somme des triangles opposés AlMt, A'I*U*

^:* égale au fuseau dont Van g le est Al*B.

Ce fuseau se compose des triangles Al^B, A PB; il suffit donc de prouver

que A'PB' ent équivalent à AFB. Pour cela, on observe que Tare A'PA = PAP'; d'où, en ôtant la partie commune PA, on déduit PA' = P'A; de B'PB = PBP' on conclut de même PB' = P'B; de A'B'A = B'AB on conclut A'B' = AB; les triangles A'B'P et ABP' ayant les côtés égaux chacun à chacun, sont égaux dans toutes leurs parties; Ils sont symétriques (à cause de leor disposition); leurs aires sont égales (m 386). Donc

faseau P t= ABP + A'B'P. C. Q. F. D.

Corollaire. La somme des pyramides sphériques, qui ont les triangles PAO,

Pâ'B' pour bases, est égale à l'oiiglet qui a le fuseau PAP'B pour base.

Tliéorciiie.

S99« La surf i ce d'un triangle sphériqne quelconque a pour mesure rexcès de la demi-somme de ses angles sur deux droits. C'est-à-dire que.

Le rapport de Vaire de ce triangle au triangle tri-rectangle, T, est égal au rapport de reaxès susdit à un angle droit.

Soit ABC le triangle sphérique proposé. Achevons la circonférence dont BG

fait partie, et prolongeons BA et GA, à la re'>contre de cette circonférence, en B' et en C, ( 11 est nécessaire de prolonger ^'^ — * — ^\C' ces arcs pour avoir leur deuxième rencontre avec cette circonférence, puisque chacun de ces arcs AB, CA» est moindre qu'une demi-circonférence.) Cela fait, on remarque que ABC et AB(/ composent le fuseau dont l'angle est C; on conclut de là et du n<* 385,

Al^n 4- WUV f.i«cnii C 2C

de même

ABC + A /r.

fiisenii B

|ar'

Puis, d'tprèi le théorème pfécëdent, ÂBG + ÂB'C'^ roseau A,

- ABC+AB'C' fu«eaDA 2 A

Additionnant les ëgalUéi (1), (2), (3), membres à membres, on tronyo

2ABC -h ABC H- ABC^ H- AB'C + AB^C^ ? A -f 2B + 2C

mais ABC + AB'C + AC'B + AB'C composent l'hémisphère entier; cetts somme yaut donc 4 triangles tri-rectangles^ 4T; on a donc

2ABC+4T 2ABG . . 2(\^B+C) ou -^ + 4 = ^ ,

en divisant par 2, pals retranchant 2 d'un côté, et râ;=2 de l'antre^ on obtient enfin