DES CORPS RONDS
». R et r désignent les rayons des bases, H la hauteur, A l'arête ou le côté d'un cône.
Cylindre circulaire droit.
V = TU X R2 X H ou J ,rD2 X H (19) (n« 319).
Cylindre droit a base quelconque.
V = BxH (20) (n»3206w).
Surface convexe d'un cylindre circulaire droit.
S=2w.RxH ou Tux DxH (21) (n» 320).
Surface convexe d^un cylindre droit à base quelconque,
' S = (périm. de B) x R (22) (n« 320 bis).
CÔNE circulaire DROIT.
V=|7cR2xH OU ttR^X^H (23) (no 325).
Surface latérale de ce cône.
S= 27c.Rx| = TrxRxA (24)(n«327).
Tronc de cône à bases parallèles.
Surface latérale du mime.
kJ — .fx *
fcx'Vs-n.
/\^xv 1 ,;
^<fev/y ^xx tj/^vj»
Sphère.
S = 4iuR«
OU
^XDa
Id.
ou
Aire d*une zone sphérique.
S = 2icxRx H
Secteur sphérique.
V = |itR2xH (30) (n«355).
Volume engendré par un segment circulaire.
Y^^izc^xE (31) (n«356).
H désigne dans ces deux formules la hauteur de la zone correspondante; c est la corde du segment.
Segment de sphère à deux bases.
V = ^ttH^+^tcxH (r^-i-r'^) (32) (n« 357).
r et r' désignent les rayons des bases du segment. Segment de sphère à une base.
V^^TiH^+iTcraxH (33) (n« a57).
Fuseau sphérique. On appelle ainsi une partie de la surface de la sphère comprise entre deux demi-grands' cercles limités à leur commune intersection. ^ V * f)
DÉHONSTHÀTIONS DB QUBLOUES FORMULES. 7
L'aire tTun fvseau est égale à l'arc qui mesure l'angle de ses demi- circonférences multiplié ■par le diamètre de la sphère (').
Onglet sphériqqe. Un onglet sphérique a pour mesure le fuseau qui lui sert de base multiplié par le tiers du rayon de la sphère.
Ellipse ou ovale. L'aire d'une ellipse est égale au produit de ses deux demi-axes multiplié par tt.
- S = ir X ffl X ô (34). (Voy. les courbes usuelles.)
lO. Avant de passer aux applications, nous allons démontrer les formules indiquées qui ne se trouvent pas dans le Cours.
Aire d'un TULmaLE, dont on àorine les trois côtés : BC = a, AC=ô, AB=c.
Noos désignerons le périmètre par 2p; a-\-b-\-c=2p La surface cherchée ^=<Jp[p — a) [p — b [p — c). Pour le démontrer, je trace les bissectrices AO, BO des angles A et B du triangle et je joins CO : d'après la propriété de la bissectrice (n- 48) OD ^ OE et OD = 01; donc OE = 01 et CO est la bissectrice de l'angle C. I^s perpendiculaires OD, OE, 01 sont des rayons , r, du cercle inscrit. Les bissectrices AO, 00, BO décomposent le triangle ABC en trois triangles OBC, OAC, OAB, dont les aires sont respectivement
|axr,|6xr,icxr, desorteque l'aire de hBQ=-{a-\-b-\-c) r=pxr; S=pXr.
(•) Ce princEpe deTient évident quand on compara le fuseau à la aphéro dont il Ml parUe, en décriïanl un grand cercle de l'un de les somoiels comme pûle.
Le demi-périmètre p est connu ; il nous faut trouver r en fonction des trois côtés.
Pour cela, comparons les 2 triangles adjacents à chaque bissectrice ; ils nous donnent AD = AE, BI=BD, CI=:CE. Ces six segments composent le périmètre 2p du triangle ABC ; la somme AD-|-BI-|-CI des trois premiers est donc égale au demi-périmètre p. Mais AD + BI+CI= AD+BC ou AD+a; AD -\-az=p; donc kD^zp— a. La somme BD+AE+CE des trois autres segments est aussi égale kp; BD-\-bz=zp ; donc BD=p — 6.
Cela posé, menons la bissectrice BO' de l'angle extérieur MBC, à la rencontre de AO prolongée, puis tirons O'C. D'après la propriété de la bissectrice, 0'M=0'K et 0'M=0'N; donc O'K = O'N ; CO' est la bissectrice de l'angle C. Désignons O'M par /. En comparant les triangles adjacents à chaque bissectrice, on trouve que AM = AN, BM = BK et CN = CK. Par suite BM+CN = BK-|-CK ou BM+CN=a. En ajoutant ici des deux parts BA + CA = c + 6, on trouve BM + BA -f CN + CA ou AM + AN = a -f ^» -f c = 2;?. Mais AM-|- AN, c'est 2AM ; 2AM = 2p ; donc AM = p et enfin BM = AM— AB=p — c.
Résumons :
AM=p, AD=p— a, DB=:p— 6, BM=p— c.
Cela posé, les deux triangles semblables AOD,AO'M donnent
OD O'M r r , ,
"â-tS = TÂT OU = — (aj
AD AM p — a p '
Les deux bissectrices OB, O'B de deux angles adjacents sont perpendiculaires ; les deux triangles OBD, O'BM ont les côtés perpendiculaires et sont semblables ; ils donnent
OD DB r p—h ..
BM^O'M ^^ p — c"" / ^^^
Multiplions les égalités (a) et (p) membre à membre; il vient après réduction,
