DÉMONSTRATION DE QUELQUES FORMULES

d'où

r2 — {P — ^) JP — à) jp — c) .

p^ LL=p ^p a) {p — h) [p — c)\

et enfin,

pX r ou S = y/p{p — a) [p — b)[p — c). C. Q. F. D. (*)

puis

(*) Voici une autre démonstration do la même formule. L^aire du triangle ABC

y Jjr

S = ^ BC X AD = î^ o X AD.

AD^ = ÂC^ — CD^ = 6» — CD^ î

on sait que

c2 =z a» + 62 — 2a X CD.

On déduit de là

2a X CD = a» + 62 — c2, puis CD =

gg + 62 — c2 2a

T^ Lo (a^ + 6» — c2)2 4a262 — (a» + 62 — c2)2 Donc Ad2 = 62-^ 4^[2— ^= ^1^2 ''

Ea appliquant le principe qui se formule ainsi :

A»— B2 = (A+ B)x (A-B), on trouve successivement

Posons a + 6 + c = 2p ; on en conclut 64-c — a ■=.a -\- 6 + c — 2a = *ip — 2a=2 (p — a). Demérae(a-}-6 — c) =2(p — c); a + c — 6 = 2(p — 6).

Application. Calculer Vaire d'un triangle dont les trois côtés sont 13», 14», 15».

Appliquons la formule.

a = 13, 6 = 14, c = 15; a + 6 + (? ou 2p = 42; p = 21; p — a = S;p — 6 = 7;p — c = 6.

L'aire du triangle est 84 mètres carrés.

lO bis. Triangle ÉQuiLAxéRAL dont le côté est a (faites une figure).

Lahauteur/i=:| /a» - - = l/j. a» = JLvfâ; = S -La/i = ^l^Z

Hexagone régulier dont le côté est a (faites une figure).

Il se compose de six triangles équilatéraux égaux dont le côté est a.

Octogone régulier dont le côté est a, et le rayon du cercle circonscrit R.

DÉMONSTRATION. Soit AB, Ic côté de l'octogone régulier. AG est le

côté du carré inscrit égal à \/2, S = 8A0B, et'AOB = ^ OBxAD= ^Rx 7 H V?^ ?^ Donc S = 2R2 /2 (a)

En mettant les valeurs de a -|- 6 + c, a + c — 6, etc., dans la valeur de AD^, on trouve

jg2 2/?x2(p— a)x2(p~6)x2(p~c) 4p(p-a) (p— 6) (p— c) ^

d'où ^^ = l>/{p (p-a) (p-6) ip^c).

Celte valeur étant mise pour AD dans la valeur (a) de S, il vient aprci réduction

S = yjp {p^a) (p— 6) {p-^h C. Q. F. D.