Toisé d'une auge ek pierre à faces rectangulaires
Ce toisé peut avoir trois objets : 1' trouver la contenance de l'auge; 2* le volume de la , - ; pierre ; 3* sa surface (pour
, i|'v""i' ■■" '' ' ■■ < ^fiff payer le tailleur de pierres). * 1° On mesure à l'exlériearlà
longueur, la largeur et la hauteur; on se sert de ces mesures pour calculer le volume total (le plein) qui est un parai lélipipède; 2° on mesure, à l'inférieur, la longueur, la largeur et la profondeur; on âe sert de ces mesures pour calculer le volume intérieur, c'està-dire la contenance. Le premier volume est celui de la pierre employée à construire l'auge.
Quant à la surface extérieure , on a tout c« qu'il faut pour la mesurer; il faut évidemment multiplier le pourtour extérieur par la hauteur. Pour la surface intérieure, c'est la même chose; il y a de plus à calculer la surface du fond.
D, Contenance d'un bassin hexagonal. — Ua bassin a ta forme d'unprisme droit dont labaseinté- ~. rieure est un hexagone régvlier de — 8 mètres de câté et la hauteur '■ 2°',40. Calculer la contenance (à 1 litre près).
On calcule la surface du fond
= 1,7320508; puis
on multiplie par la hauteur. liéponse. 399064 litres.
Il est plus simple de prendre le décimètre pour unité, puisque le litre est un décimètre cube. Il faut avoir soin de
QUESTIONS USUELLES
prendre >J3 avec un nombre suffisant de décimales pour l'approximation.
6. Bassin octogonal. — Un bassin a la forme d'un prisme droit de 0™,75 de hauteur dont la hase est un octogone régulier de 10 mètres de côté. Trouver sa contenance en mètres cubes {à une unité près).
On multiplie la base par la hauteur.
La base se calcule au moyen de la formule (8) S = 20^ (l + v^2 ) . Réponse. 362 mètres cubes.
7. Cube de la maçonnerie ou de la pierre d'un bassin. — On peut avoir à calculer ce volume afin d'évaluer le prix du bassin (construction et matières). OnmesureaXors à l'extérieur le côté d'en bas, puis la hauteur du bassin. Avec ces dimensions , on calcule la base totale , puis le volume total (formule 14), dont on retranche le volume intérieur. Le 'reste est le volume cherché.
Si le bassin a un rebord comme celui de la figure, il faut augmenter le volume de la pierre que l'on vient de trouver d'un volume additionnel qui s'obtient ainsi : on mesure le côté extérieur d'en haut et la hauteur du rebord; on calcule la base supérieure qui a ce côté extérieur: on en retranche la base totale inférieure, et on multiplie le reste par la hauteur du rebord.
7. Mesurage des tas de sable ou DE PIERRES CASSÉES destinées à la réparation des routes. — Ceux qui cassent les pierres sont payés au mètre cube. Afin de mesurer le volume des pierres cassées et d'en faire des tas réguliers , on emploie ujie
espèce de hoite ABCDabcd, sans fond ni dessus, appelée ponton, que l'on pose sur le sol qui sert de fond. Les quatre faces latérales assemblées sont des trapèzes isocèles en bois B plein, inclinées à la base; îe fond actuel ABCD , et le
16 QUESTIONS US6ELL£S
dessus ouvert abcd, sont des rectangles. On emplit cette boîte de pierres au ras de la face supérieure aôcr^, puis on enlève le ponton. Les faces latérales étant inclinées sur la base , vers l'intérieur , les pierres qui se trouvent sur ces quatre faces inclinées sont appuyées , de sorte qu'elles ne s'éboulent pas ou s'éboulont fort peu quand on soulève le ponton avec un peu de précaution. Ces tas de pierres ont un volume déterminé, un ou Jeux mètres cubes par exemple. Nous allons dire comment on mesure un ponton , afin de savoir s'il a bien la contenance qu'il doit avoir, ou bien sur place un tas de pierres ou de sable formé à l'aide de ce ponton.
On mesure les dimensions AB , BC du rectangle inférieur, les côtés ab , bc du rectangle supérieur, et la hauteur de la boîte au moyen d'un fil à plomb qu'on laisse pendre le long d'une règle divisée à partir de Tun des angles b du ponton. Quand il s'agit d'un tas de pierres ou de sable à mesurer sur place , on prend les mêmes mesures en bas et en haut du tas. Quant à
la hauteur, on la mesure à l'aide du fil à plomb, à vue d'œil ou bien à l'aide d'une règle posée horizontalement sur la face supérieure du tas.
Cela posé , désignons par A et B les dimensions inférieures AB et BC , par a et b les dimensions supérieures ab et 6c, et la hauteur verticale par h; le volume cherché se calcule d'après cette formule
Exemple. Supposons qu*on ait trouvé- AB ou A = 1"*,80 ; BC ou B = 1 mètre; a = l^jSS ; b = 0^,80 et h = 0"»,72.
En effectuant les calculs , on trouve V = 1°^ «"*>«• ,26.
DÉMONSTRATION DE LA FORMULE. Imaginons que par ad [fig, 2) on mène le plan adKl parallèle à cbOB. Ce plan , qui
QUESTIONS USUELLES
coupe la base ABCD suivant IK parallèle à BC, décompose le solide en un prisme quadrangulaire oblique adIKbcBG , et un tronc de prisme triangulaire aAI^DK. Menons la B section droite de chacun de ces prismes. Celle du prisme quadrangulaire est un trapèze feEF, dont les bases EF, ef sont égales aux côtés BC ou B , et bc ou b du ponton , et la hauteur gG égale à sa hauteur verticale h. L'arête de ce prisme est ab ou a. La section droite oMN du tronc de prisme triangulaire est un triangle isocèle dont la base MN = AI = AB — IB = A — a, et dont la hauteur est évidemment égale à h. Les arêtes de ce tronc de prisme sont AD , IK égales à BC ou B et ad^=bc onb. Cela posé , en évaluant les volumes d'après le n° 6 de ce Complément, on trouve :
Vol. daJKcbBC = ax efEF = ax^^xh.
VoL aAWDK==oMNx^^^^+^^^
Additionnons ; ^ est facteur commun :
Vol. ABCD aôcd = i A ["(B -f6) Xa + (A — a) X ^^ ^ ^ 1'
En réduisant au même dénominateur 3 tout ce qui est entre crochets , puis effectuant les calculs , on trouve d'abord
^y A^^/ 3flXB+3ax6+2AxB-fAx^^— 2aXB~aX^ ^\ ^-2^[ 3 I
puis , après réductions ,
V = |x(axB + 2ax6 + 2AxB+Ax6),
et enfin ,
V = ^Ax[A(2B+6)-|-a(26+B);]. C.Q.F.D.
