RÉSUMÉ. Ces applications confirment la règle que nous
avons énoncée d'avance.
TC = -r ou it = 3,1416, et -= 0,31831 sont les valeurs qu'il
faut généralement employer dans les applications,
t9. Avec -=- la correction peut ne pas être nécessaire (*) ;
d'ailleurs cette correction se fait très-aisément. On peut donc employer cette valeur si simple beaucoup plus souvent qu'on ne le fait.
D'un autre côté, 3,1416 a l'avantage d'être divisible par 3,
par 6 , par 4 et par 8 ; ce qui est commode quand il y a .t ic
ou;5«, ou^ w, ou 7 «(V. Ics uombres indiqués n* 22). De
plus , c'est une valeur décimale avec laquelle on peut appliquer la méthode de multiplication abrégée quand le nombre des chiflFres décimaux est trop grand.
Cette dernière considération milite aussi en faveur de
0,31831 employé pour - .
80. La surface d'un cercle étant 12"^9,4, trouver son rayon, cercle R=:«xR»; Ra = £!I£!«^ et R=l/cercleR
RÈGLE. On divise la surface donnée par w et on extrait la racine carrée du résultat.
(♦) Considérons par exemple le 1'' problème. Supposons qu'on demande le résultat à moins de 0™,01. Les quatre premiers chiffres ne font pas 2484; lo premier résultat est approché à moins de 0,01 et la correction n'est pas nécessaire.
Supposons qu'on demande le môme résultat à moins de 0,0001. Le nombre cherché étant plus grand que 2484 dix>millièmes, la correction est nécessaire.
Après la correction , l'erreur est moindre qu'une unité du 6* chiffre , c'est-àdire moindre que 0,0001 ; l'approximation est suffisante.
Tout ce que nous venons de dire s'applique au 2* problème.
SUR LA CIRCONFÉRENCE ET SUR LE CERCLE
L*approximatloa est ordinairement indiquée ou on se la propose soi-même. Supposons que le résultat soit demandé à moins de O'^jOl.
Le quotient de 12,4 par 3,14 aunchififre
avant la virgule; il entera de même de sa racine carrée. Cette racine calculée jusqu'aux centièmes aura trois chiffres. Pour déterminer cette racine, à moins d'une unité de son troisième chiffre, il suffit de déterminer les trois premiers chiffres du quotient indiqué (qui commence par un 3) , d'ajouter 2 ou 3 zéros, et d'extraire la racine du nombre résultant (*). Nous calculerons pour plus de sûj^eté le quotient en question avec quatre chiffres et nous rejetterons le 4* (**}. V. la note.
3,14tS9
Remarque. Avec « = 3,1416 on trouve aussi 3,947. On trouve également 3,947 en multipliant 12,4 par 0,31831. La valeur exacte commence donc ainsi 3,947.
81. Trouver la longueur d'un arc de 47^ 28' 40" appartenant à une circonférence dont le rayon est 1",80.
n faut ici appliquer la formule a = cire. R X ô^ •
(*) Voyez la règle donnée en Arithmétique , au chapitre des erreurs relatives de la racine carrée. Nous recommandons cette règle dont Tapplication simplifie considérablement la résolution des questions inverses pour laquelle il faut extraire des racines carrées et des racines cubiques.
(♦♦) Lorsqu'on veut avoir un certain nombre de chiflfres exacts par une méthode qui ne donne le résultat qu^à moins d'une unité d'un ordre fixé , sans que les chiffres soient garantis tous exacts , on calcule un chiffre de plus qu'il n'en est demandé , et on efface le dernier chiffre une fois trouvé s^il est moindre que 9. Si c'était 9 , il faudrait on calculer encore un de plus.
Nous réduirons d'abord l'arc donné et 360» en secondes. 360* = 129600(r ; 47» 28'4(y = 17092(r,
oR Q6 , 3,6X170920X.
En simplifiant on trouve
17092 X ic ^~ 36000 • Supposons qu'on demande le résultat à moins de 0,01. On devisera 17092 par 36000 et on fera la multiplication abrégée du quotient par « = ^^/^ (avec la correction). Réponse, 1",49.
Zt. La longueur d'un arc de 38® 59' est 8'",47. Trouver le diamètre ou le rayon à moins de 0",01.
T^ 1 p 1 circ.Rxw® 2Rxn*X« Prenons la formule a = t^jçt^ = ^^7^7^ ;
on en déduit 2R =
nXiz
38® 59' = 2339'; 360® = 21600' ; op 8,47X21600 8^47X21600 1 ^^- 2339X^ ^39 X^-^ '^^
1. Trouver l'aire d'un secteur dont l'arc est 53®19', sachant que le rayon du cercle est 2"84 {à moins de 0,01).
Nous emploierons la formule (12) ; sect. = 0^5 — ^.
53®19' = 3199'; 360® = 21600'; sect.=^^^5^^^^5^^.
Nous prendrons tt = ^ .
(2,84)2 8,0656 ; 8,0656 X 3,199 = 25881,8544 ; 25801,8544 : 21600 = 1,1945 à 0,0001 près.
1,1945 X "A = 3,754148, et après la correction 3,752643.' Rép. Secteur = 3°»q, 752643.
88 bis. Observation générale, tt = — -, u =3,1416, i =
0,31831 étant des valeurs trop grandes, il en résulte qu'il n'y
SUR LA CIRCONFÉRENCE ET SUR LE CERCLE. 31
a pas généralement à s'occuper des erreurs en moins commises antérieurement, pourvu que ces erreurs considérées isolément, ne dépassent pas la limite d*approximation.
84. La surface d'un secteur est 4^^,29; Varc correspondant est 68® 49' 18"; trouver le rayon du cercle à moins de O^jOOl.
R2 X ic X n«
Prenons la formule : sect. =
donc R = |/^>2^X 1296000 1
Nous laissons ce calcul à faire au lecteur. R = 2",672. Le plus simple serait d'employer les logarithmes. La même remarque s'applique aux deux questions précédentes.
85. Étant données la corde ADB et la flèche DC d^un segment de cercle j trouver le rayon et l'aire du' segment, (Faites une figure.)
Prolongeons la flèche CD jusqu'à sa deuxième rencontre avec la circonférence en I et tirons AI. Le triangle AIC étant
rectangle, on a AD=DIxDC, d'où DI = ^^
DC
âd'
et 2R = DI + DC = ~g- + DC = -^+A
Telle est la formule qu'on peut traduire ainsi :
RÈGLE. Pour avoir le diamètre d'un cercle, on divise le carré de la demi-corde par la flèche et l'on ajoute le diviseur au quotient.
Pour obtenir Taire d'un segment , on évalue l'aire du secteur OACB , celle du triangle isocèle AOB ; puis on retranche la seconde aire de la première. Nous avons ce qu'il faut pour calculer l'aire du triangle (OD = R — /*) . Mais pour trouver l'aire du secteur, il nous faut connaître le nombre de degrés de l'arc ACB. On peut pour cela employer ce moyen pratique. Ayant joint l'extrémité A de l'arc à l'extrémité G de la flèche , on mesure avec le rapporteur l'angle CAB , et on multi»
3f APPUGATIÛNS DE LA aÉOMÉTRtB.
plie le nombre de degrés de cet angle par 4. Le résultat est le nombre de degrés de l'arc ACB. (En effet, l'angle inscrit
CAB a pour mesure ô ^^ = 4 -^^B.)
La corde et la flèche étant données , on peut trouver plus exactement par la trigonométrie le nombre des degrés de l'arc et le rayon , en résolvant le triangle ACD , puis le triangle AOD.
se. Application. La corde d'un segment de cercle est 127'^, 4S\ la flèche 5°,4, l'arc 19" 22^12^ (*) ; calculer l'aire de ce segment à un mètre carré près,
Formules. 2R = — ^ 1- f\ secteur =iîR^ ^ ^6Ô^'
Triangle = |^c(R — /}
2R = iÊ|M! -L 5,4 = 757,768 ; R = 378«,884.
Secteur = (378,884)2 x ^^^^^ X ^.
On fait le carré du rayon ; on divise d'un autre côté 69732 par 1296 , et on recule la virgule du quotient de trois rangs vers la gauche. Cela fait , on multiplie le carré du rayon par le quotient par la méthode abrégée. Enfin, on multiplie ce dernier produit par tu.
L'aire du segment devant être trouvée à moins d'un mètre carré, 6n cherche l'aire du secteur et celle du triangle avec cette approximation.
L'aire du secteur est 24165 mètres carrés , celle du triangle 23806 mètres carrés; d'où il résulte que celle du segment est 359 mètres carrés, à une unité près.
{*) Vun de ces trois nombres donnés résulte des deux autres. On ne peut pas les prendre tous les trois arbitrairement ; nous avons calculé Pangle.
QUESTIONS tSOBLLBS. 33
QUBSTIOHS DSDBLLBS.
■ï. MESuEA-aE DE LA UABGBLLE d'un PUITS. Ce tuesurage peut avoir un double objet déterminer le prix de construction et le prix des matériaux (d'après le volume de la maçonnerie ou de la pierre).
Règle. Pour obtenir le volume de la margelle dun puits, on mesure avec un ruban métrique la circonférence intérieure, puis la circonférence extérieure. On ajoute les deux résultats et on en prend la moitié. On multiplie cette circonférence moyenne par l'épaisseur de la margelle, et le produit par sa hauteur. Ce dernier produit est le produit demandé.
Autre méthode. On obtient le diamètre de la circonférence moyenne en mettant une règle métrique depuis un point du bord intérieur jusqu'au point diamétralement opposé du bord extérienr. On multiplie la distance de ces deux points par n, ce qui donne la circonférence moyenne. Puis on multiplie le résultat par l'épaisseur de la margelle et le nouveau produit par sa hauteur. Ce dernier produit est le volume cherché.
DéMONSTRATioN, Le moyen que nous indiquons est parfaitement exact. En effet, le volume en question est la différence de deux cylindres ayant pour bases le cercle extérieur it. R' et le cercle intérieur it. r'. Le volume total est («. R' — 11. H} X H (H désignant la hauteur),
V=7:X {R^-r») xH=ii {R+r)(R-r)xH=2ir. 5^X
(R — f ) X H. Or 5t (R + r) est précisément la circonférence moyenne; R — r est l'épaisseur de la margelle, et H sa hauteur. Notre première règle est démontrée,
R 4- r est la distance d'un point du bord intérieur au point diamétralement opposé du bord extérieur. Notre seconde méthode est donc justifiée.
34 APPuanons db u oéomAtrib.
Appucattok. Les dimensions d'une margelle de puits sont : diamètre moyen, l^.ÔO; épaisseur, 0",28; hauiew, 0",72. rnwver son volume.
1,60 X "/i {avec correction) = 5,026 ; 5,026 x 0,28, x 0,72 = 1,0132416. Réponse. Le volume est I^SOIS.
S4. Mesurage d'une tour eonde. Le volume de la maçonnerie et des matériaux qui composent une tour ronde se détermine précisément par la méthode précédente. Il n'y a pas un mot à changer à la règle.
Application. Le rayon intériew d'mu tour ronde est l',16; l'épaisseur, 0",15; la hauteur, SS'.TQ. Trouver le volume de la maçonnerie. Réponse. 4'",4Ô7.
S8. MeSURAQB d'une OAROOmLLE ou RIGOLE BN PIEKSE DE
TAILLE. Ce mesurage peut avoir pour objet de cuber la pierre et d'en mesurer la superficie (pour payer le tailleur de pierres).
La pierre taillée a la forme d un paralléhpipède rectangle diminué de la rigole qui a la forme d'un demi-cylindre.
RÈOLE. On mesure deux dimensions de la pierre à une extrémité (la largeur et la hauteur], et on les multiplie l'une par l'autre. On mesure le diamètre du demi-cercle au même bout, et on s'en sert pour calculer la surface de ce demicercle (la moitié de - nD^ ou - mD' V On retranche le second
produit du premier, et on multiplie le reste par la longueur de la pierre. Le produit est le volume de la pierre.
DÉMONSTRATION. Volume du parallélipipède: largeur X hauteur X longueur. Id. du - cylindre : - ( - nD* \ x longueur.
QUESTIONS tSUBLLBS. 35
Différence (largeur x hauteur ~ - :tD") x longueur.
Application. Largeur, O^iSO; hauteur, 0°,18; largeur, 1°',20. Diamètre du vide, 0°',24. Trouver le volume. Rép. 0°",022350.
Pour connaître la surface taillée, en supposant qu'il s'agisse des deux extrémités, des deux côtés, du dessus, etde la cavité du demi-cylindre, on mesure le contour àl'une des extrémités, depuis le sommet de l'un des angles inférieurs en remontant jusqu'au sommet de l'autre angle inférieur, en parcourant en chemin la demi circonférence. On multiplie lé résultat par la longueur de la pierre ou de la rigole, et on a toute la surface taillée moins celle des deux extrémités. On complète en mesurant ces dernières dont chacune est un rectangle moins le demi cercle que 1 on connaît.
•• Mesure d une borne. Ce mesurage peut avoir pour but de cuber la pierre ouvrée et d'évaluer la surface polie (pour payer le tailleur de pierres). Une borne se compose de deux parties distinctes qu'on appelle le fût et le dé. La première, destinée à rester en évidence, est taillée avec soin; la seconde, destinée àsupporter la première et à être enfouie, reste ordinairement à peu près bmte. Il y a des flits de toutes les formes et de toutes les dimensions. Beaucoup ont la forme d'un simple tronc de cône ; d'autres, celles d'un tronc de cône surmonté d'un segment de sphère. Nous ne nous occuperons que des bornes de ce genre {les bornes rondes).
Supposons d'abord un simple tronc de cône à surface supérieure plane.
On mesure la circonférence inférieure du fût, sa circonférence supérieure et sa hauteur. Cela fait, on peut calculer les deux rayons et obtenir le volume en appliquant la formule (25) .
Mais il vaut mieux, sans calculer les rayons, appliquer immédiatement cette formule.
1 X, r/circ. R\* , /cire. r\* , cire. R cire, ri ...
Quant au dé, qui est un parallélipipède plus ou moins régulier, on obtient son volume en faisant le produit de ses trois dimensions mesurées à partir d*un de ses sommets.
On obtient la surface du fût en mesurant sa longueur dans le sens de sa surface (l'arête du tronc de cône) ; puis on multiplie cette longueur par la circonférence moyenne.
Quand la partie supérieure du fût a la forme d*un segment de sphère, on calcule séparément le volume et la surface du tronc de cône; puis le volume et la surface du segment de sphère à Taide des formules (29) et (33). Il n'y a pour cela à mesurer en plus que la hauteur de ce segment. On connait la demi-circonférence et le demi-cercle de base.
La surface supérieure du dé est égale au produit de ses deux dimensions diminué de la base inférieure du fût. Il faut ajouter cette surface à celle du fût, pour avoir la surface polie totale.
Il est d'ailleurs [facile de mesurer la surface latérale du dé si on en a besoin.
Application. Les dimensions d'une borne ronde sont : cire, en bas du fût 0"^,945; cire, sous le segment de sphère 0",80; hauteur du fût 0'^,45 ; hauteur du dé 0'^,24 ; hauteur du segment de sphère 0",05. Le dé est un parallélipipède à base carrée. Trouver le volume de cette base et celui de la surface polie au-dessus du dé.
Réponse. Volume du fût : 0»%029133; id. du dé, 0"*%021716; volume de la borne, 0"S050849.
Surface du fût, 0°»?,4331, surface supérieure du dé (circonscrite au fût), 0°»<ï,0194; surface polie totale, 0'°*?,4525.
Nous recommandons cet exercice au lecteur.
AO. Mesures de capacité. Il est bon de pouvoir vérifier soimême l'exactitude des mesures en usage; cette vérification est très-facile pour les mesures de capacité. La loi veut que
(*) On remplace dans la formule 25 , tcR^ par (^/s cire. R}^ : %.
QUESTIONS USUELLES
ces mesures soient cylindriques, et construites suivant ces prescriptions : pour les mesures en bois, destinées à mesurer les grains, graines et les matières sèches, le diamètre intérieur doit être égal à la hauteur intérieure ou profondeur, tandis que pour les mesures en étain, en zinc, ou en fer-blanc, destinées aux liquides, la hauteur à V intérieur est double du diamètre. Connaissant les dimensions précises de ces mesures, on peut aisément les mesurer avec une tringle ou avec un bâton. Voici les dimensions de quelques mesures très-usitées :
MBSURBS
