CONTENANCE DES FOSSES, DES CITERNES ET DBS CAVES
44* Pour mesurer la contenance d'une fosse, d'une citerne ou d'une cave dont les parois planes s'élèvent perpendiculairement au sol, il suffit de mesurer la base d'après une de nos formules ou de nos règles, et de multiplier sa surface par la hauteur ou profondeur.
Mais ce cas, le plus facile, est aussi le plus rare. Le plus souvent les réservoirs souterrains sont voûtés et leurs voûtes affectent des formes diverses. On mesure alors, non pas la surface du sol, mais celle du mur vertical qui borne la cave ou la citerne à l'une des extrémités. On opère d'ailleurs suivant la forme de la courbe que présente la voûte. Nous allons montrer par quelques exemples la marche à suivre généralement.
1®' Exemple. La voûte d'une citerne ou d'une fosse se continue jusqu'au sol; la surface du mur vertical à chaque extrémité est un demi-cercle.
Le volume à mesurer est un demi- cylindre horizontal qui a
pour base le demi-cercle et pour hau- ^*->s. teur la longueur de la citerne, c'est-à-
>v dire la distance des deux murs ver- \ ticaux. Ce volume se calcule par la
' formule ^ ic R^ x H. Le fond de la
QUESTIONS USUELLES
citerne est rectangulaire : on mesure sa largeur qui est 2R et sa longueur qui est la longueur H du demi-cylindre.
2« Exemple. La voûte d'une cave ou d'une dterne ne continue pas jusqu'au sol; elle s'appuie sur deux murs verticaux rectangulaires {qu'on appelle pans droits) ; la surface du mur vertical de chaque extrémité se compose d'un segment de cercle ACBE et aurdessous d'un rectangle ABB'A'.
On mesure la flèche CE de l'arc et la hauteur DE des pans
droits; puis, sur le sol qui est rectangulaire, la largeur et la longueur de la cave. La largeur AB est à la fois la corde de Tare et la base du rectangle.
Si la corde AB est le double ^de la flèche, le segment ABC est un demicercle. Le volume à mesurer est alors composé d'un demi-cylindre horizontal qui a pour base le demi-cercle, et d'un parallélipipède rectangle qui a pour base le rectangle ABA'B'. Tous deux ont pour hauteur la longueur de la cave ou citerne. On calcule donc la surface du demicercle égale à ^ tzQW, et celle du rectangle égale à ABxDE.
On additionne ces deux surfaces et on multiplie la somme par la longueur de la cave ou citerne.
Quand la corde de l'arc est plus grande que le double de la
flèche (V. la fig.) la surface circulaire n'est plus un demi-cercle; c'est un segment de cercle proprement dit. Il faut employer la formule du segment (segment = secteur — triangle). Il est plus simple d'évaluer le secteur par la formule : secteur = arc x - R; car on
peut mesurer l'arc sur la voûte à l'aide d'un ruban métrique bien tendu. A cela près, les mesures à prendre sont les mêmes que dans le cas précédent. Le volume cherché, composé d'une portion de cylindre et d'un parallélipipède rectangle, est égal
à la somme du segment et du rectangle inférieur multipliée par la longueur de la cave.
!'• Remarque. Dans le premier cas (demi-cercle et rectangle), on peut simplifier le calcul. En efifet, 57cR^ = 2'fRx 2R=
T 7c X CE X AB, Taire du rectangle est AB x DE; la somme
-wXCE + DE)xAB. Si l'on prend it=^;7«: = ^=-+ 4 / 7 4 28 2
2 + le 7* du quart. De là cette méthode : on prend la moitié
de la flèche CE, puis le quart, puis le septième du quart; sous ces trois parties écrites pour l'addition, on met la hauteur DE ; on additionne le tout, et on multiplie la somme par la base commune BA du segment et du rectangle. Enfin, on multiplie ce dernier produit par la longueur de la cave.
2* Remarque. Dans le cas du segment de cercle, on a besoin du rayon du cercle pour calculer le secteur et le triangle. On peut trouver ce rayon sans calcul en se servant d'une tringle à laquelle un talon est appliqué perpendiculairement. On applique successivement ce talon sur la voûte aux deux extrémités de l'arc de cercle (V. la dernière fig.), et chaque fois on trace une droite sur le mur le long de la tringle. Les deux droites menées vont concourir en un point qui est évidemment le centre du cercle; CE est le rayon. Ayant mesuré ce rayon, on en retranche la longueur
de la flèche pour avoir la hauteur du triangle à évaluer avec
le secteur.
APPLICATIONS
1®' CAS. La courbe de la voûte sur une demi-circonférence.
Dimensions de la citerne.
Largeur AB == 6™,52
Longueur = 10"',80
Hauteur des pans droits .... DE = 5'",60
QUESTIONS USUELLES. 45
Opépations.
CE=|aB= 3,26 6:52^
1 1 fto 1Ô322
le ?• du j 0,116 ^g ^^^
l ^E = 2,561 574,664976 DE= 5,60
La capacité de la citerne est 574"**,665.
2* CAS. La courbe de la voûte est un arc de cercle moindre que la demi-circonférence (dernière figure).
Dimensions.
Largeur JK = 4"^,80
Longueur = 7 ,20
Hauteur des pans droits. ... FJ = 3 ,80
Flèche IH = 1 ,40
Rayon EC = 2 ,76
Arc = 6 ,20
Opérations.
Secteur = are X s R- Triangle = ^ larg' X (R — flèche).
Segment. — Secteur. — Triangle.
En appliquant ces formules , on trouve que le segment = 5°>q,292; le rectangle 18'"<i,24; total 23'"q,532, et enfin la contenance de la citerne (23,532 X 7,20)»« = 169~«,340.
8^ Exemple. La surface du mur vertical à chaque extrémité se compose d'une demUellipse et d'un rectangle.
APPLICATIONS DE U GfÉOMÉTRIB.
Le volume à mesurer se compose d'un demi-cylindre droit
et d'un parallélipipède rectangle. On mesure sur le sol la longueur de la cave, la largeur AB et la hauteur CD (du milieu de la largeur au sommet de l'arc).
On mesure de même la hauteur DE qui est celle des pans droits; CD — DE est le petit axe de l'ellipse par la formule TU X a X 6, puis celle du rectangle. On additionne et on multiplie la somme par la longueur de la cave ou citerne.
Remarquons ici que tu x AB X CE + AB X DE = (tuCE + DE) X AB. De là une simplification : on prend 3 fois CE, Vt de CE , on écrit au-dessous DE ; puis on additionne les trois nombres , pour multiplier la somme par AB..
5® Exemple. La surface du mur vertical de chaque extrémité se compose d'un demi-cercle et d'un trapèze dont les deux côtés descendants sont inclinés au sol, comme l'indique la figure. (C'est à peu près la coupe ordinaire des égouts.)
F Les pans droits à la suite de la voûte sont des
rectangles faisant un angle obtus avec le sol. Le
/il \ ^B volume à mesurer est une portion de cylindre et
un prisme droit. On mesure le trapèze et le demicercle, et on multiplie leur somme par la longueur de la cave ou citerne prise sur le sol. On voit aisément les mesures à prendre. Il peut arriver que la surface du fond soit formée de deux plans inclinés (V. la fig.); alors, au lieu d'un trapèze, on en mesure deux, BDPE, ACPE.
6® Exemple. La surface verticale d'un mur à chaque exf rémité se compose d'un demi-cercle ou d'un segment de cercle et d'un
quadrilatère^ ADBC.
La voûte s'appuie d'un côté sur un pan droit rectangulaire dont la hauteur est AD, de l'autre sur un mur incliné au sol qui a aussi la forme d'un rectangle , ayant pour dimensions BC et la longueur de la cave.
Le volume à mesurer se compose toujours d'une portion de cylindre et d'un prisme droit dont les bases sont le qua-
QUESTIONS USUELLES
drilatère ADBC et son opposé de l'autre mur vertical.
La hauteur commune du prisme et du cylindre est la longueur de la cave.
Il faut calculer la surface du quadrilatère ADBC (décomposé en deux triangles), celle du demi-cercle ou segment, ajouter, et multiplier la somme par la longueur de la cave.
Les longueurs à mesurer sont celles indiquées sur la figure pour le quadrilatère, la longueur de la cave (sur le sol), et enfin le diamètre CA dans le cas du demi-cercle. Dans le cas du segment, il faut mesurer la flèche IH, la corde CA, Tare CHA et le rayon CG.
45. Nous nous bornerons à ces exemples. Nous ne pouvons pas prévoir ici toutes les formes qu'afiectent les voûtes; cela nous mènerait trop loin, et d'ailleurs nous ne pouvons pas sortir de la géométrie ordinaire.
Nous avons supposé les terrains droits, les murs unis, les lignes régulières. Dans la pratique on ne rencontre pas toujours cette régularité. Quelquefois les murs sont concaves ou bombés, accidentés de cavités ou de pierres qui débordent; il y a des angles arrondis. Nous ne pouvons prévoir théoriquement ces accidents de terrains ou ces vices de construction ; c'est à l'opérateur à y avoir égard en compensant ses mesures autant que possible, en forçant ou en diminuant, suivant le cas, de manière à approcher le plus possible de l'exactitude.
Il peut y avoir dans les fosses, caves ou citernes, des piliers ou colonnes d'appui qui occupent une partie de l'espace intérieur et dont les volumes doivent être par conséquent déduits de la capacité trouvée en les négligeant d'abord. On mesure les volumes de ces piliers ou colonnes suivant leur forme, en décomposant leurs volumes au besoin.
Il peut y avoir aussi des planchers inclinés, des vides extérieurs à déduire de la capacité à mesurer; on les évalue suivant leur forme et on les retranche.
