LITRE I
Considérons le point A au-dessus de la droite BC, puis conccj^ vons que la partie supérieure du plan
tourne autour de BC comme charnière pour se rabattre sur la partie inférieure.
Le point A rabattu prend au-dessous de
3 BC une certaine position A'. Imaginons qu'on joigne A et A' par la droite AEA', puis qu'on recommence le même mouvement,- la ligne EÂ rabattue coïncide avec EA' et l'angle AEB avec A'EB. Ces deux angles étant égaux^ la ligne BC est perpendiculaire à AA\ et réciproquement.
Tbéorèmc.
41. D*un point A, donné hors d^une droite BC, on ne peut ahais-
ser qu'une perpendiculaire sur cette droite.
Menons la perpendiculaire AE et une autre ligne quelconque
ADF. Prolongeons AE d'une longueur EA'=EA, et joignons DA'. La ligne ADA' n'est pas droite, puisqu'il y a déjà, entre A et A\ une ligne droite AEA' (n*» 2); le ^ prolongement de AD est donc une ligne DF différente de DA'. Les deux triangles ADE, ADE ont le côté DE commun, AE=EA' et rangle droit AED= A'ED;
ces deux triangles sont donc égaux (l** cas), et l'angle ADE=EDA'.
L^angle ADE égal à EDA' est plus petit que son adjacent EDF;
la ligne AD n'est donc pas perpendiculaire à BC. Or AD est une
droite quelconque différente de AE; on ne peut donc pas mener
de A sur BC d^autre perpendiculaire que AE.
Tliéorèmc.
^ 42. Si d^un point pris hors d'une droite on abaisse sur cette ligne une perpendiculaire et différentes obliques :
i« La perpendiculaire est plus courte que toute oblique;
2* Les obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales;
3* De deux obliques qui s'écartent inégalement du pied de laper^ nendiculaire^ celle qui s'écarte le plus est la plus longue.
BlD
'^iA
Soient AE une perpendiculaire et AD une oblique quelconque à ^ BG, issues du même point : la perpendicu-
laire AE est plus courtt^ que l'oblique AD.
Pour le démontrer, je prolonge AE d'une longueur égale EA', et je trace DA'. Les deux trian«»les ADE, A'DE ont le côié DE commun, AE=EA' et l'angle droit AED=A'ED; ces deux triangles sont donc égaux (l"cas,n*29), et le côté AD = DA'. Mais la ligne droite AEA'=2AEest plus courte que la ligne brisée ADA'=2AD; donc AE est plus courte que AD; ce qu'il fallait prouver.
Remarque. La perpendiculaire AE est la plus courte ligne qui aille du point A à la droite BO.
La plus courte distance d'un point donné à une droite donnée est donc la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite* â» Soient AE perpendiculaire sur BG et les deux obliques AD,
AF, telles que DE=EF : ces deux obliques sont égales. En effet, les deux triangles AED, AEF ont le côté commun AE; DE=EF, et les angles en E égaux comme droits; ces deux triangles sont donc égaux (1" cas d'égalité). L'hypoténuse AD du premier est donc égale à l'hypoténuse AP du second j AD=AF. C. Q. F. D.
3* Soient les deux obliques AD, Al s'écartant inégalement du pied de la perpendiculaire AE; celle qui s'écarte le plus, AI, est la plus grande. Pour le démontrer, je prolonge AE d'une longueur EA'=AE, puis je trace DA', lA'.
Les deux triangles ADE, A'DE ont le côté DE commun, AE=
EA', et l'angle droit AED=A'ED; ces deux triangles sont donc égaux (l" cas), et le côté AD=DA'. De même les triangles AIE, A'IE sont égaux, et AÏ=IA'.
Gela posé, le point D, intérieur au triangle G AIA', étant joint aux extrémités de Tun des côtés A A', on sait (n» 27) que la somme AD + BA' est plus petite que AI + IA'; autrement dit, 2AI>2AD; donc AI > AD; ce qu'il fallait prouver.
