NOTIONS PRÉLIMINAIRES
±. Symétrie. Nous aurons souvent à parler de pot»/^ «ym^triques. Rappelons-nous ces définitions :
1® Deux points sont dits symétriques par rapport à une droite quand ils sont situés sur une perpendiculaire à cette droite , à égale distance de cette ligne.
2* Deux points sont dits symétriques par rapport à un point quand ils sont en ligne droite avec ce point , à égale distance de ce point.
W. On dit qu'une courbe est plane quand elle a tous ses points dans le même plan. Dans le cas contraire, on dit qu'elle est gauche ou à double courbure.
S. Axes. On appelle axe d'une courbe plane une droite par rapport à laquelle tous les points de la courbe sont symétriques deux à deux,
n résulte de cette définition que les deux parties dans lesquelles l'axe divise la courbe coïncident point à point quand on fait faire à l'une d'elles une rotation de 180*» autour de cette droite. Cette propriété peut servir à définir les axes.
Sommets. Les points de rencontre d'un axe et de la courbe s'appellent sommets.
4. Centre. On appelle centre d'une courbe un point par rapport auquel tous les points de la courbe sont symétriques deux à deux; c'est-à-dire que tous les points de la courbe sont deux à deux les extrémités d'une corde dont le centre est le milieu.
(*) Ce chapitre a ses numéros d'ordre spéciaux. Les nombres ainsi indiqués, (n" 19), renvoient à un numéro du chapitre; celui-ci (109), renvoie à un numéro du Cours.
5. Diamètres. On appelle diamètre d'une courbe une droite qui divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à une certaine direction. Cette direction est dite conjuguée de celle du diamètre.
On appelle diamètres conjugués deux diamètres dont chacun est parallèle aux cordes que l'autre divise en parties égales.
Tous les diamètres d'une courbe à centre passent évidemment par le centre.
Un diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales est un axe de la courbe, et réciproquement.
•. Tangentes. On appelle tangente à une courbe la limite
des positions que prend une sécante MM' qui se meut de manière que deux points d'intersection M, M', se rapprochent indéfiniment juqu'à se confondre en un seul. Le point unique M s'appelle alors point de .contact (Fig. 1.) (position MT).
On appelle normale la perpendiculaire MN menée à une tangente au point de contact.
9. Une courbe est dite convexe quand elle ne peut pas être rencontrée par une droite en plus de deux points.
Quand les deux points de rencontre se confondent en un seul, la droite, devenue tangente, n'a qu'un point de commim avec la courbe. La courbe est tout entière d^un même côté de la tangente. On définit quelquefois les courbes convexes par cette propriété.
On démontre aisément à priori , en se fondant sur la définition de chaque courbe, qu'une ellipse^ ou une hyperbole y ou une parabole y ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points. Ces trois courbes sont donc convexes (*).
S. Coordonnées. On détermine souvent la position d'un point M d'un plan par ses distances MP> MQ à deux droites
(*) Résolvez, d'après la définition de chaque courbe, Pexercice 18, page 77; id. 18, page 90; id. 6 , page 90. (Voyez les exercices 106, 97 , et 95, liv. ffl du cours.)
ELLIPSE
nX
rectangulaires YOY', XOX' tracées dans
ce plan (fig. 3). La perpendiculaire
MP à XOX', ou la ligne égale OQ mesu-
^ rée sur YY', s'appelle ordinairement
V ordonnée du point M ; la perpendiculaire
'y ' MQ à YOY' , ou la ligne égale OP mesu-
(Fig- 3. rée sur XX' s'appelle l'abscisse. MP et
MQ, ou OQ et OP, s'appellent ensemble les coordonnées du
point M. Les droites YOY', XOX' s'appellent les axes des
coordonnées.
On donne aux coordonnées les signes + et — pour distinguer les points du plan compris dans les quatre angles YOX, YOX', Y'OX, Y'OX'.
L ELUPSE.
•. On appelle ellipse une courbe plane telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes ,
situés dans son plan, est constante.
Les deux points fixes s'appellent foyers. Soit, par exemple, l'ellipse ABA'B' dont les foyers sont F et __U F' (fig. 4). La somme FM + F'M est la même, quel que soit le point M sur la courbe.
Les droites FM, F' M qui joignent un point M de l'ellipse aux foyers s'appellent les rayons vecteurs de ce point.
La somme constante, MF + MF', est ordinairement représentée par 2a, et la distance FF' des foyers (la distance focale) par 2e. Le triangle FMF' donne MF-f MF' > FF ' ou 2a > 2c.
tm. Tracés de l'ellipse. On peut aisément tracer une ellipse quand on connaît la somme constante , 2a , des rayons vecteurs et les foyers F et F'.
(Fig. 4.)
COMPLEMENT DE LA QÉOMéTRIE.
Tracé continu (flg. 4). On attache aux foyers F et F' un fil d*une longueur égale à 2a. Puis on tend le fil avec une pointe à tracer (crayon ou tire-ligne) qu'on fait mouvoir dans le plan, successivement au-dessus et au-dessous de FF', en maintenant le fil tendu, jusqu'à ce qu'on soit revenu au point de départ. La courbe ainsi décrite est une ellipse, puisque, pour chacun de ses points M, FM-|-F'M = 2a. Cette construction montre que l'ellipse est une courbe limitée et fermée.
Trace par points (fig. 5). On trace FF' dont on détermine le milieu et on prend à droite et à gauche les longueurs
OA, OA' égales à a. Cela fait, on emploie comme il suit une série de points 0, w, m, ...F, suffisamment rapprochés , pris sur OF.
A On décrit, de chacun des foyers F et F' comme centre , avec mA pour rayon, deux arcs de cercle situés l'un au-dessus, l'autre au-dessous de AA' (voyez la flg.). On décrit de même, avec mA' pour rayon, quatre arcs de cercle qui rencon-
(Fig. 5.)
trent les premiers en M, M', M", M'". Ces quatre points appartiennent à l'ellipse ; en efiet, pour le point M , par exemple on a FM -|- FM' = mA + mA' = AA' = 2a (*). En employant de même le point w, on a quatre autres points N, N', N", N"' de l'ellipse. Ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on ait obtenu des points assez rapprochés qu'on joint par un trait continu (**).
{*) En opérant comme nous l'indiquons , on ne change , pour chaque point ainsi employé, que deux fois d'ouverture de compas au lieu de quatre,
{**) VERIFICATION. Il existe pour chaque courbe usuelle des méthodes set^ vant à construire des tangentes à cette courbe indépendamment de son tracé, qui s^appliquent quand ce tracé n'existe pas encore. On construit d*ayance, en employant ces méthodes, des tangentes qui touchent la courbe en des points déjà trouvés, ou qu'on trouve en construisant les tangentes. Ces tangentes guident le tracé continu de la courbe ou servent à vérifier et à corriger ce tracé effectué sans elles.
ELLIPSE
Remarques, Poup chaque point m, pris entre et F, on a mA. + mA'= AA.'>FF'. D'unautrecôté, mA.'=a-f-Om, eta = twA-f Om; par suite mAJ = m A + 20m , et mAf — m A = 20m < 20F ou FF'. Par conséquent, les arcs de cercle décrits de F' et de F comme centres, avec mA' et mA comme rayons, se coupent au-dessus et au-dessous de AA'. Quand on emploie ainsi le point O, les rayons OA, OA', étant égaux , les arcs décrits se coupent en B et en B' sur la perpendiculaire BB' élevée au milieu de FF'. Enfin, pour le poîht F, la difiPérence des rayons FA' — FA = FF'; les arcs décrits se touchent en A et en A' qui sont des points de Tellipse {*).
1 1 . Centre. Vellipse a pour centre le milieu de la ligne des foyers.
Pour le démontrer v considérons un point quelconque M de
l'ellipse (fig. 6). Tirons MO et prolongeons cette droite d'une longueur égale OM'. Le point M', symétrique du point M par rapport au point (n* 1)', est un point de l'ellipse. En effet, traçons les droites FM, F'M, FM', F'M'. Le quadrilatère FMF'M' ainsi formé est un parallélogramme, puisque le ^ ^^* '' point est le milieu des diago-
nales FF', MM'. On a donc F'M = FM' et FM=:F'M'; par suite FM' + F'M' = F'M -f FM = 2a. Le point M' est donc sur l'ellipse. M et M' sont d'ailleurs deux points quelconques de l'ellipse. Tous les points de l'ellipse sont donc deux à deux symétriques par rapport au point 0; ce point est donc le centre de la courbe (n° 4) .
!•. Axes. L ellipse a pour axes la ligne FF' des foyers et la perpendiculaire BB' m£née au milieu de FF'.
10 Fp' (fig. 7j. Eq effet, abaissons d'un point quelconque
{*) Il n'y a pas lieu d'employer ainsi ni des points analogues pris sur OF' ni des points pris à droite de F ou à gauche de F'. Dans le premier cas, on retrouverait symétriquement les points de Tellipse déjà obtenus ; dans le 2* cas, on tracerait des arcs qui ne se rencontreraient pas, 20m étant alors > 20F = FF'.
Ji
M de Tellipse une perpendicalaire MP sur FF' et prolonjçeons-la d'une longueur égale PM'. Le point . M', symétrique du point M par rapport à FF' (n*» 1) est un point de l'ellipse. En efiFet , d'après la construction, FM = FM' et F'M = F'M'. Par suite FM'+F'M'=FM+ (Fig- T') F'M=2a ; le point M' est donc sur
l'ellipse. FF' est un axe de la courbe.
2? BB'. Traçons les cordes MOM'", M'OM" et les droites MM'', M"M"' et M"'M'. A cause de OM = OM' les cordes M'OM", MOM'" sont égales, et le quadrilatère MM"M"'M' est un rectangle. La droite POP perpendiculaire à MM' et à M"M"' est parallèle à MM" et à M'M'". D'ailleurs OP = OP' ; BB' perpendiculaire au milieu de POP' est perpendiculaire aux miUeux de MM" et de M'M'" ; MQ=QM" et M'Q'=Q'M'". BB' est donc un 2* axe de l'ellipse.
L'ellipse a donc deux axes rectangulaires FF', BB', passant par le centre, et quatre sommets A, A', B , B' (*).
tS. Longueurs des axes. Traçons F'B et FB (fig. 8). On a F'B = FB et FB = a puisque F'B -I- FB =2a. L'axe BOB' |A est représenté ordinairement par 26. On a OB < FB ou ô < a.
L'axe AA' = 2a est le grand axej et BB' = 2b le petit axe de l'ellipse. Le triangle OBF (Fig- 8.) donne b^ -{- c^ = a^. (1) .
14. Excentricité. Le rapport - s'appelle l'excentricité de l'ellipse. Ce rapport est toujours plus petit que 1. Quand c
(*) Il résulte de notre démonstralioD que si une courbe à centre a un axe teL que FF', elle en a nécessairement un autre tel que BB'.
ELLIPSE. 6
dimiaue par rapport à a et tend vers 0, rexcentricité d)miniie; h augmente d'après Tëgalité (1) et à la limite devient égal à a. L'ellipse s'arrondit et finit par devenir un cercle. Quand c augmente par rapport à a, l'excentricité augmente ; b diminue et tend vers ; l'ellipse s'aplatit et tend à se confondre avec son grand axe (*).
t ft. Théorème. Pour tout point C [extérieur à V ellipse (fig. 9) ),
on a CF' + CF > 2a, et pour tout point antérieur, C'F'-|-C'F < 2a.
En effet, 1« la droite F'C rencontre l'ellipse en M; menons MF. On a CF + CM > MF, et en ajoutant des deux parts MF', CF + CM + MF' > MF + MF', ou CF+ CP > 2a. 2« La droite F'C prolongée rencontre l'ellipse en M; menons MF. On a FC (Fig. 9.) ^ Q,^ + MF, et en ajoutant
CF', C'F+C'F' < CM + MF' +F'C' ou CF+C'F' < MF + MF' = 2a.
L'ellipse est le lieu des points M de son plan tels que MF -f- MF' = 2a.
