Remarques utiles pour les applications (flg. H
La droite (F'f) qui joint un des foyers au point symétrique de Vautre par rapport à une tangente qiÀelconque (MT) est égale à 2a , et passe au point de contact.
ELLIPSE
La tangente MT, éiani perpendiculaire au milieu de Ff, on a pour chacun de ses points TF = Tf; MF = Uf (*).
Gerclb directeur. On appelle cerclé directeur d'une
ellipse un cercle qui a pour centre \ Tun des foyers et 2a pour rayon.
Ex. cercle F'f, fig. 12 (**).
Le cercle directeur qui a pour centre le foyer F' est le lieu du point symétrique de l'autre foyer F par rapport à une tangente quelconque (n« 19).
(Fig. 12.)
Cercle principal. On appelle cercle principal d'une ellipse le cercle qui a pour centre le centre de l'ellipse et a pour rayon.
Ex. cercle OA (fig. 12).
Le cercle principal d'une ellipse est le lieu de la projection, E , de l'un ou t autre foyer sur une tangente quelconque.
En effet , menons OE. Le point étant le milieu de FF' et E le milieu de F/", la droite OE est parallèle à F'/", et de plus, 0E = V2 F7 = a. Le point E est donc sur cercle OA.
21. Les tangentes aux sommets A, A', B, B' sont perpendiculaires aux axes AA', BB^. Cela résulte de ce qui vient d'être dit.
Autrement : la perpendiculaire au sommet A, par ex., est la limite des positions que prend la corde MM', qui joint deux points symétriques, en se déplaçant parallèlement à eUe-même; les deux points M, M' qui se rapprochent continuellement, se confondent en un seul au point A.
Zit. Problème. Mener une tangente à une ellipse par un point VL donné sur la courbe (fig. 13).
On mène les rayons vecteurs F' M, FM; on prolonge F' M d'une longueur MH = MF; on mène FH et on abaisse de
(^) On résout aisément, en se fondant sur ces remarques, les trois problème énoncés n"» 22, 23, 24.
(**) Le mot cercle est employé ici pour circonférence.
(Fig. 13.)
M une perpendiculaire MI sur FH. MI est la tangente cherchée. En efiFet, dans le triangle isocèle FMH , MI perpendiculaire à la base est bissectrice de Tangle FMH et par suite tangente à Tellipse en M (n® 16).
On peut aussi tracer simplement un arc du cercle principal (cercle OA) qui rencontre FH en I et mener MI (n« 20).
••• Problème. Mener une tangente à la courbe par un point donné extérieur T.
On décrit une circonférence du foyer F' le plus éloigné deT comme centre avec 2a pour rayon ; puis une circonférence du point T comme centre avec TF pour rayon. Les deux circonférences se coupent en H et en H'. On mène FH et on abaisse de T une perpendiculaire TI sur FH. TI est la tangente demandée et son point de rencontre M avec F'H prolongée est le point de contact. En efiFet, puisque TF = TH, TI est perpendiculaire au milieu de FH et MH=MF. Par suite F 'M+ MH = F'M + MF = 2a; le point M est sur Tellipse et TJdl bissectrice de Tangle FMH est une tangente à la courbe au point M (*).
On obtient une deuxième tangente issue du point T en menant FH' et F' H' et abaissant de T une perpendiculaire TI
{*) Solution analytique. On raisonne ainsi diaprés le n" 19 : Si on connaissait le point H symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée, on obUendrait cette tangente en abaissant de T une perpendiculaire sur FH. Or le point H est situé sur le cercle directeur décrit de F' comme centre avec 2a pour rayon (n** 20) ; il est aussi situé sur une circonférence décrite de T comme centre avec TF pour rayon (n« 19). On décrit donc ces deux circonférences qui se coupent en H et en H'; on joint FH et on abaisse la perpendiculaire TI sur FH, et TI' sur FH'.
On est conduit à la construction du n** 22 par le même raisonnement appliqué au point donné M.
ELLIPSE
sur FH', qui rencontre F'H' au point de contact M'. {Tracez ces lignes.) Le problème proposé a donc deux solutions (*).
94. Problème. Mener à t ellipse une tangente parallèle à une droite donnée DE (flg. 14).
On abaisse du foyer F une perpendiculaire FK à DE. Cette droite, perpendiculaire à la tangente cherchée, contient le point symétrique de F par rapport à cette tangente. Ce point symétrique est d'ailleurs situé sur le cercle directeur décrit de F' comme centre avec 2a pour rayon. On décrit ce cercle qui coupe FK en deux points H et H'.
On élève une perpendiculaire TI au milieu de FH et une perpendiculaire TT au milieu de F' H', qui rencontrent
(Fig. 14.)
F'H et F'H' aux points de contact M et M' (n^ 19). Le problème proposé a donc deux solutions (**).
(*) Les circonférences décrites se coupent. En effet, les centres étant F' et T et les rayons, 2a et TF, les conditions à remplir sont celles-ci : TF' < 2a -f TF, et TF'> TF — 2a ou TF' > 2a — TF. Or, on a par hypothèse TF' > TF, et à fortiori TF'>TF — 2a. Le point T étant extérieur à l'ellipse, on a TF' + TF > 2a et par suite TF' > 2a -— TF. Enfin, le triangle FF'T donne TF' < TF + FF'; d'où à fortiori, TF' < TF + 2a.
(♦*) Les méthodes employées pour résoudre les trois problèmes précédents sont indépendantes du tracé de Pellipse ; eUes s'appliquent alors môme que ce tracé n'a pas eu lieu. On peut donc les employer pour construire des tangentes utiles pour aider au tracé de l*ellipse par points, ou pour vérifier et corriger ce tracé déjà effectué.
Sft COMPLÉMENT DB LA GËOHËTRIB.
Vtt. Théorème. La projection d'm cercle tur un ptan obtigae au sien ett une ellipse.
Il suffit de démontrer que la projection d'im cercle sur un plan oblique quelconque passant par son centre est unç ellipse, puisque cette projection est la même sur tous les plans obliques parallèles qui font le même angle avec le plan du cercle.
c Considérons donc (fig. 15) un
cercle ACA'C et sa projection ABA'B' sur un plan oblique qui passe par le diamètre AOA'. Il s'agit de prouver que ABA'B' est une ellipse. Pour cela, menons par le centre et par un point quelconque L du cercle deux plans perpendiculaires à AOA'. Ces deux plans parallèles rencontrent le plan du cercle suivant les parallèles OC, PL, et le plan de projection, auquels ils sont perpendiculaires, suivant les parallèles OB, PM. Menons des perpendiculaires CB, LM sur OB et sur PM ; CB et LM sont perpendiculaires sur le plan de projection (205) et leurs pieds B et M , projections de C et de L, sont des points de la courbe ABA'B',
Prenons sur AA' les longueurs OF, OF' égales à CB et menons les droites LF, LF', MF, MF' et le rayon LO prolongé jusqu'en L' sur le cercle. Menons L'F, L'F' et FK perpendiculaire à LL'.
Les deux triangles COB, LPM qui ont les côtés parallèles, CO CB ,.
LP ~ LM ^ rectangles OLP, OFK qui ont l'angle aigu commun sont
semblables et donnent ™ == ==ç (2) LO étant égal
à CO, les premiers rapports des égalités (1) et (2) sont égaux, et par suite les seconds. Comme d'ailleurs OF = CB par construction, LM ^ FK. Les deux triangles rectangles
{Fig. IS.)
ELLIPSE
LFM» LFK qui ont l'hypoténuse LF commune et les côtés égaux LM , FK , sont égaux ; donc MF =: LK.
D'un autre côté, le quadrilatère LFL'F' est un parallélogramme; par suite UF = LF'. Les deux triangles rectangles LMF', L'FK, qui ont les hypoténuses LF', L'F égales, et les côtés LM, FK égaux, sont égaux; donc MF' = L'K. Finalement MF -f MF' = LK -f KL' = LL' = AA'. M est un point quelconque de la courbe ABA'B'; cette courbe est donc une ellipse dont les foyers sont F etF\ et les axes AOA' = 2a et BOB' = 26. Notre proposition est donc démontrée.
«•. Remarque. Dans le triangle COB, nous avons relativement à l'ellipse ABA'B', CO = a, OB = 6, CB = OF = c; COB est d'ailleurs l'angle du plan du cercle et du plan de projection. Nous tirons là cette conséquence :
Une ellipse quelconqtie est la projection d'un cercle dont le dia~ mètre est 2a et dont le plan fait avec celui de l'ellipse un angle égal à V angle opposé à a dans le triangle rectangle qui a pour côtés a, b, c.
«*. Remarque. Imaginons que le cercle ABA'B' (flg. 15),
tournant autour de AA' comme axe, se rabatte sur le plan de projection. Après le rabattement, le cercle et l'ellipse auront les situations indiquées sur la âg. 16. OC etOB perpendiculaires à l'axe AA' coïncident en direction ; de même MP et LP. Le cercle rabattu ABA'B' n'est autre que le cercle principal de V ellipse (n° 20).
(Fig. 16.) OC et OB, MP et LP s'appellent
les ordonnées de l'ellipse et du cercle; les lignes telles que
MQ, OP, s'appellent des abscisses.
••. Théorème. Les ordonnées correspondantes de l'ellipse et du cercle principal sont entre elles dans un rapport constant qui est celui du petit axe de r ellipse au grand.
En effet, les triangles semblables COB, LMP (fig. 15) donnent :
MP OB b LP "" OC "" a
Décrivons (fig. 16) un cercle ayant pour diamètre le petit axe BOB' de l'ellipse ; traçons MQ parallèle à AA' et le rayon OL qui rencontre MQ en E. Les triangles semblables LOP, LEM donnent
