OE

d ou - = ttt

a LO

Comme LO = a, OE = b. Les triangles semblables LOP, OQE donnent

OP ou MQ OL EQ "

OE

Les abscisses correspondantes de l'ellipse et du cercle qui a 2b pour diamètre sont dans le rapport constant de a à 6.

28 bis. D'après la fig. 16, ie cercle OG ei le cercle 06 qui ont 2a et 26 pour diamètres peuvent servir à construire Vellipse par points.

On mène le rayon OL de Pun qui rencontre l'autre en E. On abaisse LP perpendiculaire sur Oâ. et £Q sur OB ; le point de rencontre M de ces deux parpendiculaires est un point de l'ellipse. H n^y a qu*à répéter cette construction en menant d^autres rayons du grand cercle.

99. Théorème. les tangentes à F ellipse et au cercle principal dont les points de contact ont la même abscisse rencontrent le grand axe au même point (fig. 17).

Considérons les sécantes D'D, M'M du cercle et de l'ellipse dont les points d'interjection correspondants D' et M', D et M, ont les mêmes abscisses OP' et OP. On sait

M'F b MP Ti i que p = - = . Il ré-

suite de là, d'après un théorème connu (Ex. 3, page 91), que les sécantes D'D, M'M ront rencontrer l'axe au môme point T.

(Fig. 17.)

ELLIPSB.

Cela est vrai quelque rapprochés que soient les points D' et D d'une part, M' et M de Tautre. C'est encore vrai quand les sécantes sont devenues tangentes.

On déduit de là un moyen très-simple de mener une tangente à l'ellipse par un point M donné sur la courbe. (Résolvez ce problème).

AiRB DB L'ELLIPSB.

SO. Laire de l'ellipse est égale à -k multiplié par le produit des demiraxes. S =: w.a.6.

En efiFet, imaginons qu'on ait divisé le grand axe AA' en un

très-grand nombre de parties égales telles que celles qui sont indiquées sur la fig. 18, et qu'on ait constAiit partout, au-dessus et au-dessous de l'axe, sur l'ellipse et sur le cercle principal, des rectangles ayant pour base commune une de ces parties de l'axe et pour hauteurs, l'un une ordonnée MP de l'ellipse, l'autre l'ordonnée correspondante NP du cercle. Le rapport de 2 rectangles correspondants, MPFM', NPP'N',

est égal au rapport ^p de leurs hauteurs, qui est égal à -.

Le rapport de la somme des rectangles inscrits dans l'ellipse à la somme des rectangles inscrits dans le cercle est par suite

égal à -, Mais la limite de la première somme quand le nombre

des parties de Taxe augmente indéfiniment est l'aire s de l'ellipse; la limite de la seconde est Taire S := iza^ du cercle. On a donc à la limite.

(Fig. 18.)

MP

= -; d ou 5 = ic. ao.

ELLIPSOÏDE

81» On appeUe ellipaoïde le volume engendré par la rôvolution entière dHme demi-ellipse autour de Tun des axes.

L'ellipsoïde est dit allongé quand la révolution a lieu autour du grand axe de rdUpse, aplati quand elle a lieu autour du petit axe.

Le volume de l'ellipsoïde allongé = - nofe».

Le volume de Pellipsoïde aplati = */» ita*^.

VOLUHB DB l'bllipsoïdb ALLONGÉ. Ckmsidérons encore la fig. i$ avec ses constructions. Les deux rectangles de même base qui ont pour hauteurs l'un une ordonnée de Tellipse, Tautre une ordonnée du cerclé, engendrent par leur révolution autour de Taxe deux cylindres de mêm» hauteur dont les volumes sont entre eux comme les carrés des rayons de leurs bases, c'est-à-dire dans le rapport de &> à a^. Par suite, la somme des cylindres contenus dans Tellipsoïde et la sonmie des cylindres contenus dans la sphère engendrée par la révolution du cercle principal sont entre elles dans le rapport de 6^ à a>. Le volume v de rellipsoîde étant la limite de la première somme, et le volume V = Vt ^a' de la sphère étant la limite de la seconde, on a

Ellipsoïde aplati [même démonstration). Seulement la sphère est décrite par la révolution du cercle qui a 26 pour diamètre, et le rapport

des abscisses deFellipse et du cercle est t. On a donc ici

Ellipsoïde aplati = */» it 6« x p = | licC'b,

89. Voici encore des conséquences du théorème fondamental n* 25. La plupart sont fondées sur ces propositions évidentes ou très-faciles à démontrer :

Chaque ligne projetante divise une droite et sa projection sur un plan en parties proportionnelles.

La projection d'une tangente au cercle est une tangente à Vdlipse (*]•

Diamètres de l^ellipse. i. Chaque corde, MOM', d'une ellipse qui passe par le centre est un diamètre, (Tracez la droite MOM' sur la fig. 15.)

En effet, MOM' est la projection dhin diamètre LOL' du cercle principal qui contient les milieux de toutes les cordes auxquelles il est perpendiculaire. Ces cordes parallèles entre elles ont pour projections des cordes de Teltipse parallèles entre elles et ayant leins milieux sur MOM'. MOM' est donc un diamètre de l'ellipse.

Les diamètres de l'ellipse sont conjugués deux à deux. En effet, soient D et ly deux diamètres quelconques du cercle principal perpendiculaires entre eux, d et d' leurs projections sur le plan de l'ellipse. ly est parallèle aux cordes que D divise en defoxparties égales;

(Fig. 15.)

(*) On peut démontrer cette proportion en cooaidérant sur le cercla une sécante se mouvant pour devenir tangente.

ELLIPSE. 73

par 9uiie lo diamètre d! de Tcllipse est parallèle aux cordes que d divise en deux parties égales; D, D' sont deux diamètres conjugués du cercle; d et d' sont deux diamètres conjugués de Pellipse.

On construit aisément le diamètre à! conjugué à un diamètre d de VeUipse, n suffit de mener une corde parallèle à d, de déterminer le milieu de cette corde et de tracer le diamètre qui passe par le centre de Tellipse et ce milieu.

2. La parallèle menée aux cordes conjuguées à un diamètre de VeUipse par chaque extrémité du diamètre est une tangente à la courbe.

Cette proposition est une conséquence de celle-ci : La parallèle aux cordes conjuguées à un diamètre D du cercle principal, menée par chacune des extrémités de ce diamètre , est tangente au cercle.

On déduit de là et de la proposition précédente un moyen de mener une tangente è une ellipse par un point pris sur la courbe.

3. Les cordes d , d' qui joignent un point i d*une ellipse aux extrémités d'un diamètre d qxAclconque sont parallèles à un système de diamètres conjugués.

En effet, soient G' , C' , I et D les cordes, le point, et le diamètre du cercle principal dont d, d',i et d sont les projections sur l'ellipse. Diaprés un théorème de géométrie (109} , les cordes G' et d' sont perpendiculaires entre elles. Par suite les diamètres D' et U' du cercle principal parallèles à G' et Csont perpendiculaires entre eux et par suite conjugués. Les diamètres d' et d'% projections de T^ et D*^, sont deux diamètres conjugués de Tellipse parallèles à c' et à c^. Notre proposition est donc démontrée.

On peut, en se fondant sur cette proposition, mener très-aisément une tan» gente à l'ellipse parallèle à une droite donnée,

4. La droite qui joint le point de concours de deux tangentes à l'eUipsè au centre passe au milieu de la corde des contacts et divise en deux parties égales chacune des tangentes parallèles à cette corde comprises entre les tangentes concourantes.

C'est une conséquence de ce que la inéme proposition est vraie pour le cercle principal. (Vérifiez-la pour le cercle.)

&. TnéoBèME. Le rapport d'une aire plane quelconque à sa projection sur un plan oblique au sien est égal au rapport constant d'une droite quelconque perpendiculaire à l'intersection des deux plans à sa projection.

On démontre aisément cette proposition pour un triangle quelconque, puis comme corollaire pour un polygone rectiligne quelconque, et enfin pour une aire plane quelconque. (Démontrez-la.)

Le rapport constant précité est dans le cas de la projection d*un cercle (flg. 1&), le rapport de OC = a à OB =: 6. Nous avons donc, pour les aires du cercle et de Tellipse, Tôgalité

S flt ,, , ^ \b a b ,

— = -r ; d'où « = S X — , = 7ua2 X ~ = 7c.a6 s b al a

Nous pourrions continuer à déduire du théorème fondamental du n" 25 des

propotitions très-intéressantes concernant l'ellipse. Nous nous en tiendrons ici aux précédentes. Nous en indiquerons quelques autres à démontrer parmi les exercices proposés.

Miroirs elliptiques. Dans la réflexion de la lumière,

de la chaleur, ou du son, la normale, à la surface réfléchissante est la bissectrice de r angle formé par le rayon incident et le rayon réfléchi. (Physique.) La normale à Vellipse est la bissectrice de l'angle des rayons vecteurs du point de contact (n® 17).

(Fig. 19.) QqIq^ fosé, considérons : 1" une lame

métallique très-étroite , de forme elliptique (fig. 19) , et supposons qu'il y ait au foyer F production de son , de lumière ou de chaleur. Les vibrations ou rayons qui rencontrent la lame vont tous y après la réflexion, passer au foyer F'; en effet, pour le point M, par ex., le rayon incident étant FM, le rayon refléchi est nécessairement MF', puisque Tangle FMN = F'MN. Les rayons réfléchis apportent eu F' la quantité de son, de chaleur ou de lumière qu'ils propagent à eux tous. Il y a donc en F' accumulation de chaleur réfléchie plus grande que partout ailleurs sur le plan de Tellipse.

2^ Considérons maintenant un miroir elliptique. On appelle ainsi un miroir métallique concave dont la surface est celle d'un segment d'ellipsoïde allongé à une base , engendrée par exemple par la révolution de l'arc d'ellipse MAM' (flg. 19) autour de AA' [tracez sur la fig, MPM' perpendiculaire à AA'). Le miroir est donc un assemblage continu de lames méridiennes métalliques telles que l'arc MAM' ayant toutes le même axe, A'A, et les mêmes foyers, F', F. Ce que nous avons dit de la lame elliptique (1°) s'applique au miroir tout entier. S'il y a au foyer F production de chaleur ou de lumière , une très-grande partie de cette chaleur ou de cette lumière, réfléchie par le miroir, arrive au foyer F' où elle peut produire des effets* intéressants ou utiles.

BLLIPSB.

Exemples. On peut, avec un charbon ardent placé en F, allumer de Tamadou placée en F'; avec une lumière placée en F , éclairer fortement un objet de petite dimension placé en F'. Deux personnes placées aux deux foyers sous une voûte elliptique peuvent causer assez bas pour ne pas être entendues par d'autres personnes placées ailleurs sous la même voûte.

Voûtes elliptiques {surbaissées) (flg. 19 bis) . Dans beaucoup de cas , il y a inconvénient à construire des voûtes de plein cintre, c'est-à-dire des voûtes cylindriques dont les surfaces, intérieure et extérieure, ont pour bases des demi-cercles.

La hauteur d'une pareille voûte au-dessus du plan de naissance est égale à la moitié de sa largeur. Supposons qu'il s'agisse d'une arche de pont. Si cette arche de plein cintre est large , elle est trop haute ; le tablier du pont e&t trop élevé. Si, pour éviter cet inconvénient, on lui donne une largeur moindre , ce défaut de largeur gêne la navigation. On évite ces deux inconvénients en construisant une arche elliptique , c'est-à-dire dont les surfaces , intérieure et extérieure , ont chacune pour base une demi-ellipse allongée , c'est-à-dire terminée à son grand axe (flg. 19 bis).

f JTÏÏÏÏTiïlTll f JTUJMÎli [ J il 1IJ.I.T.T Ja» ! JJTÏIJITIi ^T JUiIïïirTïïl [J .1 iIJ.T il ,1,11

(Fig. 19 bis.)

Voûtes rampantes. Quand une voûte doit soutenir une rampe, le plan de naissance de la voûte n'est plus horizontal. Alors la surface intérieure ou extérieure de la voûte est celle

d'un cylindre oblique ayant pour base une ellipse terminée à un diamètre conjugué parallèle au plan de la rampe.

Voûtes surhaussées. Il y a aussi des voûtes elliptiques surhaussées. Pour celles-là, la largeur est le petit axe, et la hauteur le demi-grand axe de Tellipse.

Coupoles elliptiques. Les coupoles elliptiques sont des demi-ellipsoïdes dont l'axe de révolution est vertical.

Nous pourrions citer beaucoup d'autres applications de l'ellipse, entrer dans plus de détails sur les précédentes; mais cela nous mènerait trop loin. Nous renvoyons le lecteur aux ouvrages spéciaux qu'il pourra étudier avec fruit à l'aide des premières notions acquises dans ce livre. Nous avons ▼oultt seulement lui donner une r® idée des applications de Tellipse, afin de l'intéresser à l'étude des propriétés élémentaires de cette courbe.

EXERaCES SUR L'ELLIPSE.

Avis. Le lecteur sait c& que désignent a, b, c. x et y désignent les coor^ données d*un point quelconque M de l'ellipse par rapport aux a^ces AA' et BB' de la courbe pris pour axes de coordonnées (n* 8).

1. Quel est le lieu géométrique des circonférences tangentes à deux

circonférences intérieures Tune à Tautre.

2. Idem des points également distants de ces deux circonférences?

3. Chaque foyer d^une ellipse divise le grand axe en deux parties dont

le produit est égal à 6^.

4. Les longueurs des diamètres d'une ellipse ont pour Umites 2a et 26.

5. Les rayons vecteurs F'M et FM ont respectivement pour valeurs

, ex . ex

a -{ et a

6. On a pour chaque point de Tellipse, Téquation -^ = ^^ ou bien

o«y« + 6«aî« = a«6« (*).

7. Trouver le lieu des points tels que la différence d'^—d^ des carrés

de leurs distances aux foyers F' et F est égale à ia^.

(•) Pour los anciens exercices 7 et :o, voyez les n" 28 et 30 du texte actuel.

ELLIPSE. 77

8. Les lieux trouvés (Ex. 8) en considérant les distances F'M' — FM» et

FM» — F'M» sont deux droites. Démontrez que le rapport des distances de chaque point de Tellipse au foyer F et à la 1" de ces

droites est constant et égal à -. De môme pour les distances à F'

et à la 2* droite. (Ces droites s'appellent les directrices de l'ellipse).

9. Construire une ellipse, connaissant les deux axes en grandeur et en

position.