une tangente et les deux extrémités du grand axe
Conséquences du théorème n» 25 (à démontrer).
24. L'ellipse a deux diamètres conjugués égaux qui coïncident en direc-
tion avec les diagonales du rectangle circonscrit dont les côtés sont parallèles aux axes.
25. L'aire d'un parallélogramme circonscrit à l'ellipse dont les côtés sont
parallèles à deux diamètres conjugués est égale à Aab,
2r». a' et y étant les longueurs de deux demi-diamètres conjugués quelconque, a'^+b'^ = a2-|-62.
27. a est moyen proportionnel entre l'abscisse du point de contact
d'une tangente et celle du point de rencontre de cette tangente avec l'axe.
28. Le point de contact d'une tangente comprise entre les deux axes
divise cette tangente en deux segments dont le produit est égale à a».
29. Déduire des théorèmes énoncés (ex. 25 et 26) la solution de ce pro-
blème : construire les axes d'une ellipse et par suite cette ellipse, connaissant les longueurs de deux diamètres conjugués et leur angle.
n. HYPERBOLE.
(Flg. 20.)
»». L'hyperbole est une courbe plane telle que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes est constante.
Exemple. La différence, F' M — FM ou FM — F'M (fig. 20} est constante, quel que soit le point M sur la courbe.
Les deux points fixes F, F' s'appellent foyers. Les droites FM, F'M sont les rayons vecteurs du point M.
La difi'érence constante F'M — FM ae représente ordinairement par 2a et la distance focale FF' par 2c. Le triangle FMF donne FF' > F'M — FM, ou 2c> 2a; c> a.
S4. Tbacés de l'htfekbolb. On peut tracer aisément une hyperpole quand on connaît les foyers et la différence constaiite F'M — FM = 2a des rayons vecteurs. Tracé par points (flg. 21). On trace F'F dont on détermine le milieu 0; puis on prend à droite et à gauche deux longueurs OA' et OA égales à a. Cela fait, on emploie, comme il suit, une série de points suffisamment rap- ■ proches pris sur le prolongement de F'F, à droite de F, aussi loin que l'on veut.
Considérons le point C par ex. On décrit de chacun des foyers F et F' comme (Fig. ai.) centre, avec AC comme rayon, denx
arcs de cercle, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de F'F. On décrit de même, avec A'C comme rayon, quatre arcs de cercle qui rencontrent les premiers en M, M', N, N'. Ces quatre points appartiennent à l'hyperbole. En effet, pour le point M, par ex., on a F'M — FM = A'C — A0=AA' = 2a. Pour le point N , on a FN — F'N = 2a.
Remarque. Le point étant pris à partir de F sur F'F prolongé, on a d'abord A'C — AC = AA' < FF. D'un autre côté , A'C = OC -f a, et AC = OC — a ; par snite A'C -f AC
= 20C > FF' = 20F. Les arcs de cercle décrits de F et de F' comme centres, avec AC et A'C comme rayons, se rencontrent donc deux à deux en des points de Thyperbole. Quand on emploie le point F, A'F + AF = 20F = FF' j les arcs décrits se touchent deux à deux en A et en A' qui sont deux points de la courbe (*).
D'après cette construction, l'hyperbole se compose de deux branches séparées MAM', NAN' évidemment symétriques par rapport à FF', qui s'étendent indéfiniment au-dessus et audessous de FF', Tune à droite de. la perpendicxilaire DAD', l'autre à gauche de EAE' (**).
Tracé continu (fig. 22). On prend un fil d'une longueur quelconque / et une règle d'une longueur /' = / + 2o. On fixe
une extrémité de la règle au foyer F', une extrémité du fil en F, et la 2® extrémité du fil à la 2* extrémité de la règle. Puis on fait pivoter la règle autour de F', au-dessus de F 'F, jusqu'à ce que le fil soit tendu. Le point ^. M où se trouve alors l'extrémité
^ ^* commune est un point de l'hy-
perbole puisque PM — FM = /' — / = 2a. On place alors en M contre le fil, en dehors, une pointe à tracer quelconque (crayon ou tire ligne), et on fait pivoter de nouveau la règle pour la ramener sur F'F, en faisant glisser la pointe le long de la règle, de manière que le fil reste toujours tendu. La pointe trace alors un arc d'hyperbole AM, puisque pour
(*) Si on employait ainsi un point situé entre F et F', la somme 20G des rayons serait moindre que FF ; les arcs décrits ne se rencontreraient pas. Si Ton employait d^une manière analogue des points pris sur FF' prolongé à gauche de F', on retrouverait symétriquement des points de la courbe déjà trouvés. H suffît d'employer des points C pris aussi loin qu'on veut à droite de F,
(♦*) L'hyperbole n'a pas de points entre les droites EA'E' et DÂ.D'. En efifet, à cause de la symétrie évidente de la courbe par rapport à FF' (n" 36), elle ne peut avoir de points au-dessous de AA! sans en avoir au-dessus, et, à cause de sa continuité, un point sur ÂA' même. Or, pour un point K situé sur AA' (marquez-le), on a FIL — FK = A'K- AK<AA' = 2a,ouFK-F'K = AK- A'K <AA'.
chacune de ses positions, F'o par ex., onaF'o — Fo= 2a (F'M et FM étant diminués de la même longueur M^o). On opère de la même manière au-dessous de F'F; ce qui donne un 2® arc AM' symétrique de AM. Cela fait, on change la règle de place pour fixer l'extrémité sans fil en F et attacher le fil au point F'. Puis on fait pivoter la règle à gauche autour de F comme on vient de le faire pivoter autour de F'. On obtient ainsi un 2* arc d'hyperbole NA'N' égal à MAM'. L'étendue des arcs MAM', NA'N' dépend de la longueur de la règle.
Sft. Centre. Le milieu de FF' est le centre de Vhyperbole (flg. 23). On le démontre comme pour Tellipse (n® 11). Joignons
un point qudconque M de la courbe au point et prolongeons MO d'une longueur égale OM'. Le point M' symétrique de A' par rapport à est un point de rhyperbole. En eflFet, traçons MF, MF', M'F,M'F'. LequadrilatèreFMF'M' est un paralélogramme, puisque est à la fois le milieu de FF' et de MM'. On
(Fig. 23.) ^ ^^^ç^ pj^, p, j^ ^^ p,jj, pj^ . pg^j.
suite M'F' — M'F = MF' — MF = 2a. M est un point quelconque de l'hyperbole. Le point est donc le centre de la courbe.
••• Axes. La ligne FF' des foyers et la perpendiculaire BB' au milieu de cette droite sont des axes de t hyperbole (flg. 24).
10 YF*, D'un point quelconque M de l'hyperbole abaissons MP perpendiculaire sur F' F et prolongeons -la d'une longueur égale PM'. On a FM = FM', F'M = F' M' et par suite F'M'— FM' = F'M— FM=2a; M' symétrique de M par rapport à F' F est sur l'hyperbole; FF' est donc un axe ;
2^ BB'. Menons par le
centre les cordes MOM"', M'OM", puis traçons MM", M"M'" et M'"M'. De OM = OM', on déduit MOM"' = M'OM". Le quadrilatère MM"M'"M' est donc un rectangle. POP' perpendiculaire à MM' est parallèle à MM" et à M'M"'. D^ailleurs OP = OP ; la ligne BB' perpendiculaire au milieu de POP' divise MM" et M'M"' en parties égales ; MQ = QM" et M'Q' = Q'M"' BB' est donc un axe de la courbe.
V hyperbole a donc detix axesrectangulairesYW, BB' guipassent par le centre, et deux sommets seulement A et A' ; car Taxe BB' ne rencontre pas la courbe.
L'axe FF' ou AA' qui traverse la courbe s'appelle Faxe transverse de Thyperbole, BB', qui lui est extérieur, s'appelle l'axe non transverse.
Le rapport -> s'appelle l'excentricité de l'hyperbole. Ce
rapport est toujours plus grand que 1.
3 If. Théorème. Pour tout point C intérieur à l'hyperbole, on û5 F'C — FC > 2a; pour tout point C extérieur, on a F'C — FC < 2a (fig. 25).
l** F'C rencontre la courbe en M; menons FM. Dans le triangle FMC , on a FC < MC+FM. Retranchons de F'C les deux membres de cette inégalité ; il vient F'C — FC> F'C — MC — MF ou F'C — FC > F'M — FM = 2a.
2° F'C continuée rencontre la courbe en M; menons MF. On a FM < MC + FC. Retranchons les deux membres de cette inégalité de F'M; il vient F'M — FM > F'M — MC — FC; ou F'C — FC < F'M — FM = 2a.
L'hyperbole est le lieu des points M de son plan pour lesquels FM — F'M ou F'M — FM = 2a.
(Fijf. 25.)
