TANGENTES ET NORMALES

Théorème. La tangente à l'hyperbole est la bissectrice de l'angle des rayons vecteurs du point de contact.

Cîonsidërons une sécante quelconque MM' (flg. 26).

Abaissons du foyer F une perpendiculaire FI sur MM' et prolongeons-la d*une longueur égale If. Menons F'f et prolongeons cette droite à la rencontre de MM' en E. Menons EF, EA MF et M/*. On a F'E— Ef=F'f>F' M— Uf; ce qui revient, à cause de Ef = EF et M/* = MF , à F'E— EF > F'M — MF = 2a. Le point E est donc dans l'intérieur de rhyperbole (n® 37) et par suite situé entre M et M'. On a d'ailleurs lEF =IE/* ou lEF'. Tout cela est vrai dans toutes les positions que prend MM' pour arriver à être tangente à l'hyperbole. A la limite les trois points M', E, M s'étant réunis en un seul , M (flg. 27) , on a encore IMF = IMF'. Ce qu'il fallait démontrer.

(Fig. 26.)

bis. La normale MN à Vhyperbole est la bissectrice de V angle, FMT, formé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre.

K Tout point C de la tangente autre que le point de contact M est en dehors de l'hyperbole (flg. 27.)

Menons CF, CF' et Cf.

On a CF'— C/* > F'/ = F'M — M^MaisC/* = CF et M^ = MF ; on a donc CF' — CF > F'M — MF = 2a. Le point C est extérieur à l'hyperbole (n** 37).

40. Remarqiies (utiles pour la construction des tangentes; n" 44, 45, 46.)

1» La droite F'f (fig. 27) qui jomt (Fig 27.) un des foyers de Thyperbole au

point symétrique de l'autre foyer F

par rapport à une tangente TM passe au point de contact M. Cette droite F'f a d'ailleurs une longueur constante égale à 2a.

2* La tangente TM étant perpendiculaire au milieu de Ff, on a pour chacun de ses points, 1/"= TF; Uf=UF,

4t. On appelle cercle directeur d'une hyperbole un cercle qui a pour centre l'un des foyers et 2a pour rayon.

On appelle cercle principal d'une hyperbole un cercle qui a pour centre le centre de la courbe et a pour rayon.

49. Théorème. Le cercle directeur qui a pour centre un foyer F' (cercle F/f) est le lieu du point symétrique de Vautre foyer F par rapport à une tangente quelconque (n° 40).

Le cercle principal {cercle OA) est lieu de la projection de chacun des foyers sur une tangente à la courbe.

En eflFet le point étant le milieu de F'F et I le milieu de Ff, 01 est parallèle à F'f, et de plus 01 = Ya F'/*= a (*).

4S» Les tangentes au sommet A et A' sont perpendiculaires à Vaxe. Cela résulte de ce qui vient d'être dit. Autrement: la perpendiculaire en A , par ex. , est la limite des positions que prend la corde MM' qui joint deux points sjrmétriques M, M', se déplaçant parallèlement à elle-même. Ces deux points qui se rapprochent continuellement se confondent en un seul au point A.