Problème. Mener une tangente à Vhyperhole par un

point M de la courbe.

On trace les rayons vecteurs FM, FM (fig. 28). On prend sur FM,MH=MF, et on mène FH. Enfin on abaisse MI perpendiculaire sur FH. MI est la tangente cherchée. En elBfet le triangle FMH étant isocèle, MI perpendiculaire à la base FH est ,„. „^. la bissectrice de l'angle

^ '^* ^^ FMH ou FMF' des rayons

vecteurs du point M (n® 38).

(*) On dit encore ici cercle pour circonférence.

4ft. Problème. Mener une tangente à l'hyperbole par un point extérieur T.

On décrit une circonférence du foyer F' le plus éloigné de T comme centre avec 2a pour rayon (flg. 28) ; puis une circonférence de T comme centre avec TF pour rayon. Cette 2® circonférence coupe la 1" en H et en H'. On mène FH et on abaisse de T une perpendiculaire TI sur cette droite; TI est la tangente cherchée. On mène F'H; le point M où TI rencontre F' H est le point de contact (n® 40).

En effet puisque TF =: TH, TMI est perpendiculaire au mUieu de FH et MF = MH. Par suite F'M — FM = F'M — MH = F'H= 2a. Le point M est sur l'hyperbole et TMI bissectrice de l'angle F' MF est tangente àThyperbole. Enjoignant le point F au 2* point H' et abaissant une perpendiculaire de T sur FH', on a une 2° tangente TPM' (Menez la) (*).

49. Problème. Mener une tangente à l'hyperbole parallèle à une droite donnée ab (flg. 29).

On abaisse du foyer F une perpendiculaire FC sur ab. Cette droite perpendiculaire à la tangente cherchée contient le point H symétrique de F par rapport à cette tangente.

Ce point symétrique est d'ailleurs situé sur le cercle directeur décrit du 2® foyer F' comme centre avec 2a pour rayon. On (Pi«- 29.) décrit cette circonférence,

[*J Les circonférences décrites se coupent. En effet, les centres sont T et F' et les rayons TP et 2a; les conditions à remplir sont donc TF' < 2a + TF et TF' > 2a — TF ou TF' > TF — 2a. Le point T étant extérieur à l'hyperbole, on a TF' — TF < 2a, et par suile TP' < 2a -}- TF. D'un autre côté, on a par hypothèse TF' > TP et à fortiori TF' > TF — 2a. Enfin le triangle TF'F donne TF* > FF' — TF, et à fortiori TF' > 2a — TF.

Quand le point donné est un point M de Thyperbole, on a F'M — FM = 2a ou F'M = 2a -f- MF. Les circonférences décrites sont tangentes extérieurement en M:

qai rencontre FCea H et en H'. Le point symétrique cherché est H ou H' ; on élève une perpendiculaire TM au milieu de FH, et une autre perpendiculaire T'N au milieu de FH'. Ces deux perpendiculaires parallèles à AB sont tangentes à la courbe aux points M et N où elles rencontrent F'H et E'H' prolongées (n" 38) (').

4T, Abtmptote» db L'uvrERBOLE. CoDsidÉTODa {Ûg. 30) UDe hyperbole, eon cercla dirocteur (cercle F'Uj, son cerrie principal {cercle OA) el une langenle quel- , conque BM. Henons du foyer F la taugenls FE^ au cercle principal , et AtudioDB ce gui se paBse quand la projetlioû £ do foyer F lur une langente se meut sur l'arc AE, de co cercle.

A chaque posjlion E de celle projection, inlenuâ- (liaire enire A el E, correspondent deui rayons OE.

F'a du carde principal ei du cercla directeur parai' lèles entre eui. (n' 42). L tangente EH est perpeodi culaire a la sécaolu FE, et 1 p prolongemenl du rayon

puiDtdecoQtacl. Tout cela a lieu si près que la projection E soit de E,. A la limite, quand cotle projection est E,, lesravouaOEi, Tnett sur te /igurt la droili OE, ligae e„e„tislle oubliée. p,y^ sont CDCore para lié] es, mais la droite FEi , q'ji n'est plus sécante, mais Lingente au cercle OA, est pei^

il n'y a qu'une solution. Quand le point dunué T est inlérieur à l'hyperbole, on a TF" — TF > !a ou TF' > 2a -|- TF. Les deuï circonférences ne se coupent pas; il n'y a pas de solution.

Solution anahjliiue. Si on c lUnnissait le point H symétrique du foyer F par rapport k la tangente cherchée, on aurait cotio tangenle en aJjai9SBDt de T une perpendiculaire sur TH [n'iOiî"). Uais ce point H est situé sur la cercle directeur décrit de F' comme centre avec Sa pour rayon; il est situé aussi sur la circonférence décrite do T comme centre avec TF pour rayon [□• 40). On décrit ces deui circonférences qui se coupent en Hel en H', et on abaisse une piirpen^ diculaire de T sur FH, et une de T sur FH'.

(*} Pour que cette construction réussisse, il fautque la perpendiculaire abaissée

pendiculaire à 0E| et par suite à F^Hj. La tangente Ei Mi perpendiculaire à FEi est parallèle à fHi et coïncide en direction avec OEi ; le rayon F'H prolongé ne rencontre plus la tangente OE^Mi. Comment expliquer ce fait?

On se l'explique en examinant de près ce qui a lieu d^aîlleurs pour les tangentes considérées. Le point de contact, qui est d'abord le point A, s'éloigne indéfiniment de A sur la branche d'hyperbole AG. Chaque tangente qui rencontre Taxe FF' entre A et G, de plus en plus près de 0, va rencontrer OEi Mi , après avoir touché la courbe, et fait avec OË|Mi un angle de plus en plus petit qui est nul à la limite. La distance du point de contact à OE^Mi diminue donc indéfiniment et devient infiniment petite sans devenir absolument nulle. OE^Mi est donc une tangente à la branche d^hyperbole AC dont le point de contact est situé à une distance infinie du point A, ou plutôt c^est une droite dont Tare AC, considéré point à point, se rapproche indéfiniment jusqu^à en arriver très-près, mais sans arriver à la toucher ni à la traverser.

OE^M^ est ce qu^on appelle une asymptote à cette branche AG.

Par suite de la symétrie de Thyperbole par rapport à Taxe F'F, tout se passe au-dessous de cet axe comme au-dessus. Si on mène la tangente FE^' au cercle principal, puis OE^' prolongé, on a une 2* asymptote OE^'M^'. Par suite de la symétrie de la courbe par rapport à l'axe BOB', tout se passe à gauche de BOB comme à droite. En menant les tangentes F^E^'' et F'Ei'" au cercle principal, puis les rayons OEj", et OEi'", prolongées, on obtient des asymptotes OE/N , OEi'"N', qui sont les prolongements de M^'Ei^O, M^EiO. L'hyperbole a finalement deux asymptotes MOM', NON' qui se rencontrent au centre.

Remarque. D'après ce qui précède, on construit les asymptotes d^une hyperbole en menant les tangentes FE^, FEj', au cercle principal, puis les rayons OE^, OE^' de ce cercle, qu'on prolonge vers Thyperbole des deux côtés du point (♦).

4S. Longueurs des axes de l'hyperbole. Les tangentes à rhyperbole aux sommets A et A' rencontrent les asymptotes en I, F, K, K' (fig. 31), menons IK., TK'. Lafig. IKKl' est un rectangle. Menons FE perpendiculaire sur 01;

de F' sur la droite Fc soit plus petite que 2a ou au plus égale à 2a. (Voyez la note ci-après).

Les trois méthodes précédentes s*appliquenl sans que l'hyperbole soit tracée. (Voy. la note 2* de la page 67.)

(♦) Les tangentes à la branche GAG' de l'hyperbole rencontrent deux à deux l'axe FF' entre et A et font avec cet axe un angle aigu plus grand que XOF ou YOF (fig. 30 et 31). Il en est de môme des tangentes à la branche DAD' qui rencontrent FF' entre et A'. Si donc on mène une parallèle à une tangente quelconque par le centre 0, cette parallèle est située dans Tangle XOT ou dans Tangle X'OY', On déduit de là une condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse mener une tangente à Phyperbole parallèle à une droite donnée (n^ 46).

(Pig. 31.)

nous savons que OE = OA (n*» 47). Les triangles rectangles OFE, OAI qui ont l'angle commun et les côtés OA, OE égaux, sont égaux. Par suite, 01 = OF

=c. AI=Vc2 — a2=0B.

On représente cette partie limitée OB de Taxe BB'par b. On représente par 2a Taxe transverse A'OA de l'hyperbole, et par 2b Taxe non transverse BOB'.

D'après le triangle AOI, a2 4- ô^ = c^'

48 bis, AiHB d'un segment d'hyperbole. On ne peut Toblenir qu'en employani Tune des méthodes approximatives expliquées à la fin de ce chapitre. On inscrit entre l'axe transverse et l'arc d^hyperbole des trapèzes rectangles ayant pour bases des ordonnées équidistantes de l'hyperbole.

49. Htperboloïde. On appelle hyperbolotde le volume engendré par la révo* lution complète d'une demi-hyperbole autour de l'un des axes. Vhyperboloïde à une nappe est engendré par la révolution de la branche GAG' autour de l'axe non transverse BB' (fig. 30). L'yperboloïde à deux nappes est engendré par la révolution de deux demi-branches CA et DA' autour de l'axe transverse FF'.

Si on fait tourner en même temps l'une des asymptotes Mi'ON' autour de chaque axe, on obtient deux cônes asymptotes aux deux hyperboloïdes.

Volume d'un segment d'htperboloïde a deux nappes. On l'obtient en employant la même méthode approximative. Au lieu de considérer les aires des trapèzes rectangles, on considère et on calcule la somme des volumes des troncs de cône engendrés par la révolution de ces trapèzes rectangles autour de l'axe transverse.

APPLICATION DE L'HYPBRBOLB.

Miroirs hyperboliques. La normale à l'hyperbole est la bissectrice de l'angle formé par un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre (n® 38 bis).

Par suite, si l'arc d'hyperbole LMU (fig. 32) est une lame

COMPLÉMEPrr DE LA GÉOMÉTRIE.

métallique très-étroite, au foyer F de laquelle il y a production de lumière et de chaleur, les rayons qui rencontrent la lame ne vont pas après la réflexion passer au 2*" foyer F'. Le rayon incident FM, par ex., au lieu de se réfléchir suivant MF, se réfléchit dans la direction opposée Mm, puisque l'angle FMN = mMN. Le rayon FL se réfléchit de même dans la (F»g- 32.) direction L/. Les rayons

réfléchis ne concentrent pas la lumière ou la chaleur en F'; ils la répandent dans les directions divergentes Mm, L/, L7, etc. (*).

Considérons maintenant un miroir hyperholiquey c'est-à-dire un miroir métallique dont la surface concave est celle d'un segment d'hyperboloïde à deux nappes, par ex., du segment qui serait engendré par la révolution de l'arc précité LML' autour de l'axe F'OF. Tous les méridiens de la surface sont des lames métalliques telles que la lame IML\ ayant le même axe FOF' et les mêmes foyers F et F'. Tout ce qui a été dit de la lame LML' s'applique au miroir tout entier. La lumière produite en F et réfléchie par le miroir n'est plus concentrée en un point F'. Elle est répandue par réflexion et distribuée en avant du miroir dans l'intérieur du cône de révolution qui a pour axe F'F et pour génératrice la droite F'L prolongée indéfiniment. Exemple : Une lampe, dont la flamme occupe le

(*) Les rayons réfléchis ne vont pas porter la lumière en F'; mais ils semblent tous l'apporter de ce point. L'œil placé sur m M, par ex., et tourné vers le point M, perçoit la lumière, comme si le point lumineux, la source de la lumière était en F'. 11 en est de même pour le point L, etc. Le point F' n'est plus un foyer lumi- Eoux réel; à cause de la particularité, de la propriété géoméirique que nous venons d'indiquer, F' s'appelle dans le cas actuel un foyer virtuel.

foyer F, éclaire en entier un tableau situé dans le cône sur le plan IP, en partie directement, en partie par réflexion sur le miroir.

RévERBÈRES. Les réverbères , qui servaient anciennement à éclairer les rues et les places publiques, étaient formés chacun de deux miroirs hyperboliques associés. Imaginez que de deux segments métalliques égaux pris sur les deux nappes d'un même hyperboloïde on ait retranché les calottes comprises entre le sommet et le foyer voisin, puis qu'on ait rapproché l'un de l'autre ces deux segments tronqués en leur laissant le même axe, jusqu'à ce que leurs foyers coïncident. Les deux miroirs ainsi adossés forment un réverbère dans lequel la flamme occupe le foyer commun. Les deux réflecteurs projettent dans les deux sens deux faisceaux coniques de rayons lumineux.

CHEMméss HYPERBOLIQUES. Aflu d'utiliser par réflexion les rayons de chaleur qui frappent les parois intérieures d'une cheminée, on donne souvent à ces parois la forme d'une surface cylindrique verticale ayant pour bases deux segments d'hyperbole tels que LML' (flg. 32). La réflexion de la chaleur sur chaque section hyperbolique de la paroi s'opère comme nous Tavons expliqué pour la lumière , et les personnes ou les objets qui se trouvent dans la pièce sont chaufiées par la chaleur réfléchie comme est éclairé le tableau précité.

Exercices sur l^htpbrbolb

(Même avis que pour Cellipse relativement à a, b, C, x, y).

i. Quel est le lieu géométrique des centres des circonféi^ences tangentes à deux circonférences données extérieures Tune à Tautre.

2. Idem des points également distants de ces deux circonférences.

3. Chaque sommet de Thyperbole divise la distance F'F des foyers en

deux parties dont le produit est égal à b^.

4. Tout diamètre de Phyperbole autre que 2a est plus grand que ta,

5. Les rayons vecteurs FM* et FM ont pour valeurs - + a et — — a,

6. Onapourchaquepointderhyp€rboler2= — g — ^^ **î/* "" ^*^* ~

— aa62.

7. Résoudre pour Phyperbole le problème analogue au problème 7 sur

rellipse (Exerc. 7).

8. Démontrez pourThyperbole la proposition analogue à la proposition

énoncée dans Pexerc. 8 sur Tellipse.

9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,21,22, 23 (15 exercices). Faites pour rhyperbole les exercices analogues aux exercices proposés sur rellipse qui ont les mêmes numéros.

(Démontrez les propositions et résolvez les problèmes analogues

concernant Phyperbole.]

m. PARABOLE.

La parabole est une courbe telle que les distances de chacun de ses points à un point fixe et à une droite fixe sont égales (*).

Le point fixe F est le foyer (fig. 33), et la droite fixe, DJy , la directrice de la parabole. FM = MP , quel que soit le

point M sur la courbe.

(Fig. 33.)

La droite FM qui joint le foyer à un point de la courbe, est un rayon vecteur. ' La distance FI du foyer à la directrice s'appelle le paramètre de la parabole ; on la représente ordinairement par p.

Ai. Tracb de la parabole.

On peut aisément 'tracer une parabole par points ou d'une manière continue quand on connaît le foyer F et la directrice DD'.

(*) On démontre aisément^ en se fondant sur cette définition , qu'une parabole ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points. Cette courbe est donc convexe. (Résolvez ici le problème proposé ex. 6, page 105.} La parabole est une courbe convexe (o* '')•

{Fig. 54.)

Tracé pae poihts (fig. 34). On mène du fojer F une perpendiculaire IFX à la directrice et ou en détermine le milieu A, qui est un point de la parabole, puisque AF:=AI.

Cela fait, on obtient des pointa de la parabole aussi rapprochés que l'on veut, en employant comme il suit des points pris sur AFX, à droite du point A.

Soit B un de ces points. On élère au point B une perpendiculaire MBM' sur AFX> puis on décrit de F comme centre avec IB pour rayon un arc de cercla qui coupe MBM' en deux points, M et M. M et M' sont des points de la parabole. En effet, si on abaisse MB perpendiculaire sur DD*, on a MH=IB = MF. De même pour M'. On répète cette construction en des points de AFX aussi éloignés de A que l'on veut.

Rehaaqub. La construction réussit pour tout point pris âur IFX au delà de A. Car on a toujours dans ce cas le rayon IB > FB ; par suite , l'arc de cercle décrit coupe en deux pointa la perpendiculaire élevée en B.

Si on prenait le point B à gauche de A, on aurait IB < FB ; l'arc de cercle n'atteindrait pas la perpendiculaire. La parabole s'étend donc indéfiniment au-dessus- et au-dessous de IFX, à droite de la perpendiculaire yAt/*. Elle n'a aucun point à gauche de yAy'.

Tracé continu (fig. 35). On mène IFX perpendiculaire à DD*. On place ensuite une règle le long de DID', et contre la règle, un peu au-dessus de IFX, le petitcôtéA'B d'une équerre A'BC. On attache àl' extrémité C de l' équerre et au foyer F les deux extrémités d'un fil d'une longueur égale à BC, puis on fait remonter l' équerre le long de la règle, jusqu'à ce que le fil soit tendu. A partir de là, on fait glisser la règle en descendant jusqu'à IFX, en maintenant le fil tendu contre BC au moyen d'une pointe à tracer (crayon ou tire-ligne). La pointe décrit un arc CMA de parabole, puisque pour dut'

cune de ses positions • M , on a FM -f MC = BC ; par suite,