FM = BC — MC = MB
On obtient un arc AC symétrique de CMA en retournant réquerre sens dessus dessous et recommençant le même mouvement sous IFX. L'étendue de l'arc limité de parabole ainsi obtenu dépend de la grandeur du côté BC de l'équerre.
A9. Axe de la parabole. La parabole n'a qu'un axe, qui est la perpendiculaire IFX à la directrice, et un sommet, le point A.
P^' 3^J AJjaissons d'un point (\}xq\-
(^eiC! extrémités de Varc, conque M de la parabole une
perpendiculaire MB sur IFX (fig. 34), et prolongeons-la d'une longueur égale BM'. Abaissons MH et M'H' perpendiculaires sur DD'. On a FM = FM' et MH = M'H'. FM = MH ; donc FM' = M'H'. Le point M' symétrique du point M par rapport à IFX est sur la parabole. Donc IFX est un axe de la courbe.
AS. Théorème. Pour tout point intérieur à la parabole, on a OF <0P, et pour tout point extérieur 0' o» a O'F > O'P (flg. 36).
En effet : 1® la perpendiculaire OP rencontre la parabole en
M; menons MF. On a OF < OM -|- MF, ce qui revient à OF < OM + MP = OP, puisque MF = MP ; 2*» la perpendiculaire PO' continuée rencontre la parabole en M; menons MF.
On a O'F > MF — MO' ; ce qui revient à O'F > MP — MO' = O'P, puisque MF = MP.
La parabole est le lieu des points de son plan également distants de son foyer et de sa directrice.
(Fig. 36.)
PARABOLE
54. Tangente et normale. La tangente a la parabole fait des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et la parallèle à Vaxe qui passe par ce point.
Considérons une sécante quelconque MM' (flg.37). Abaissons du foyer F une perpendiculaire FE sur MM' et prolongeonsla d'une longueur égale É/*; puis menons par ^une parallèle GfE à Taxe qui rencontre MM' en B. Du point M comme centre, avec MF comme rayon, décrivons une circonférence; à cause MF = MN cette circonférence est tangente à DD' qu'elle laisse à gauche et rencontre FM en f entre G et B ; d'où il résulte que BF = B/* est moindre que BG. Le point B est donc intérieur à la parabole (n° 53) et situé entre M' et M.
A cause de BÉ perpendiculaire au milieu de F/*, on a d'ailleurs EBF = EB/ = M'BH. Tout cela est vrai pour toutes (Fig 37.) les positions que prend MM' se mouvant
pour devenir tangente. A la limite, quand MM' est devenue tangente (âg. 38), les points M', B, M étant confondus en un seul point M, l'égalité précédente des angles devient EMF = EMf= VUE. Ce qu'il fallait démontrer.
A4 bis. La normale MN à la parabole est la bissectrice de V angle
^y formé par le rayon vecteur FM du point de contact et la parallèle MH à Caxe menée par ce point dans l'intérieur de la parabole.
(Tracez sur la fig. la normale MN à l'intérieur entre MH et MF.)
En e£fet, les angles HMN, FMN, compléments des angles égaux VMH, TME, sont égaux.
Aft. Tous les points de la tangente à la parabole autres que le point de contact sont extérieurs à la parabole.
Considérons le point G par ex. (Fig. 38.) (flg. 38). Menons CA CF puis CL
parallèle à Taxe. On a CF = Cf > CL. Le point C est donc extérieur à la courbe (n» 53).
55. Remarques (utiles pour les applications, fig. 39). 1° A cause de MF=M/[, et l'angle EMF = EM/ (n° 54) , la tangente MT est perpendiculaire au milieu de Ff. Par suite :
1** Le point f symétrique du tD ^ foyer F par rapport à une tan-
-H. gente quelconque TM est situé sur la directrice DD'.
2® La parallèle à Taxe menée par ce point symétrique rencontre la tangente au point de contact.
3® On a pour chaque point de la tangente : TF = Tf; MF = Mf.
AS. Théorèmes. 1^ La directrice DD' est donc le lieu du point symétrique du foyer F par rapport à une ^^^' ^'^ tangente quelconque,
2° La perpendiculaire ykyf menée à tance par le sommet A e$t le lieu de la projection du foyer sur une tangente quelconque. En efiFet (fig. 39), à cause AF=AI et de FE=e/, la droite AE est parallèle à DID' et par suite perpendiculaire à IF' en A; E est la projection du foyer sur la tangente; notre proposition est donc démontrée.
Mf. Construction de tangentes.
!•' Problème. Mener une tangente à la parabole par un point lit donné sur la courbe.
On abaisse MP perpendiculaire sur la directrice (fig. 40) et on mène FP. Puis on abaisse de M une perpendiculaire sur FP; cette perpendiculaire MT est la tangente demandée. En effet cette droite perpendiculaire à la base du triangle isocèle PMF est la bissectrice de l'angle PMF que fait le rayon vecteur du point M avec la parallèle à Taxe menée par ce point (n° 53).
' PAOBiiuB. Mener une tangente à la parabole par «» ptmt , extérieur T (fig. 40).
Si nous connaiâsions le point symétrique P du foyer F par rapport à la tangente cherchée, nous aurions la tangente en abaissant de T une perpendiculaire Sur la droite FF (n« 55). Mais le point P est situé sur la directrice (n° 55, 1°). De plus TF=TP (n- 55, 2») ; le pointT est doDC aussi sur une circonférence décrite de T comme centre avec TF pour rayon. De là cette construction : on décrit du point T comme centre avec TP comme rayon une circonférence qui coupe (Fig. 40.) la directrice en P et en P*. On mène
FP et on en abaisse de T une perpendiculaire sur FL. Cette perpendiculaire TOM est la tangente demandée. Le point de contact est en M à la rencontre de TO et de la parallèle à l'axe menée par le point P. (On a MF = MP et l'angle OME = OMP).
Le problème a deux solutions; on obtient nne 2" tangente en menant FP' et abaissant de T une perpendiculaire sur cette droite,
3' Pboblèub. Mener un« tangente à la parabole parallèle à une droite donnée ab (flg. 41).
On mène au foyer F une perpendiculaire Fc sur ab (marquez le point c sur ab). Fe perpendiculaire à la tangente cherchée contient le point symétrique f du foyer F par rapport à cette tangente (n" 55, l"). Le point f, étant aussi sur la directrice DD', n'est autre que le point de rencontre f de «F et de DD*. La tangente egt
[Pig. il.)
M COHPliHBNT DB LA GÉOHËTtUB.
pdrpendicolairs au milieu de Ff. On construit cette perpendiculaire. Le point M où elle rencontre la parallèle à l'axe menée par / est le point de contact. Ce problème n'a qu'une solution.
HiHABQcn. Las trois mâthodea qui piécèdenl s'appliquent alors même que la puabole a'eal pas (lacée. Biles peuvent donc 4tre amployées quand on trace la MUibe parpoinU.
Dans la ]•' problème, ladialonce de T au ftijer TF ^tanl égale k ss distance à la directrice, l'arc décrit est tangent à celle-ci ; il n'7 a qu'une aolulion,
Dana le second problàms, le point T étant eitérieur à la coutbe, la distance de TFau foyer est plus giande que sa dislance à la directrice; pat suite, l'arc décrit avec T7 pour rayon coupa la directrice en deux points P et P* qui foumie- ■ant deux solution!.
Si on donnait TP plus petit que TP, l'arc de cercle ne reocontrarall pas la directrice; Il n'y aurait paa de tangente. Le point T slanl alors intérieur à la parabole.
•S. Sons-TANGENTE , 80US-N0RUALB. On appelle smis-temgente la partie TQ de l'axe comprise entre le pied I de la tangente sur l'axe et le pied de l'ordonnée du point de contact M. On appelle tous-normale la partie de l'axe comprise entre le pied de la normale et le pied de l'ordonnée du point de contact. Pour le point de contact M (&g. 42} , la sous-normale est NQ.
i9.ladis(ance,TF, entre le foyer et le pied de la tangente SUT l'axe est égal au rayon vecteur du point de contact.
En effet , l'angle
MTF = TMP = TMF.
Le triangle MET est
Le point est le milieu de MT.
■•, Le sommet de la parabole divise la sous-tangente TQ en deux parties égales.
En effet, AO ^tant parallèle MQ [W 56, 2°) et OM=OT (n» 59), on a AQ = AT ; TQ = 2AQ.
«1. La sùus-normale QN est constante; elle est égale av paramèfre FI de la parabole.
En effet, le quadrilatère PMNF est un parallélogramme. PM est parallèle à FN ; PP et MN perpendiculaires à MT sont aussi parallèles. Donc MN = PF. Les deuxtriangles rectangles PIF, MQN sont égaux; car PI = MQ et PF = MN. Donc QN = FI, Ce qu'il fallait démontrer.
%9. L'ordonnée MQ d'un point quelconque U^ de la parabole est moyenne proporiionelle entre la sous-iangenle et la soiis-normale correspondant à ce point.
En effet, le triangle rectangle TMN donne MQ^ = TQxQN.
COROLLAJRB. Mais TQ^iSAQ (n° 60), et QN=FI=p. Donc MQ ^ 2AQ xp ou v^ = 2px, ai on prend AY et AX pour axes des coordonnées des points de la parabole (n" 8). y' = 2px est ce qu'on appelle l'équation de celte courbe.
•S. Théorème. La parallèle à l'axe, menée par le point de concours de deux tangentes à la parabole, passe par le milieu de la corde qui joint les points de contact {flg. 43).
Soient les deux tangentes BM , BN.
Menons les parallèles à l'axe MO, NP, HBK, et les droites BO, BP, BF. On a BO =BF et EP = BF; donc BO=BP ; par suite OH =HP.
La droite HBK parallèle aux deux bases OM, PN du trapèze, OMNP, divise les côtés non parallèles, OP, MN , en parties proportionnelles.
OH::=HP; doncMK = KN. Le point (Pig. 43.) K est le milieu de MN. 0. Q. F. D.
•S bis. Teeéorème. Trois tangentes quelconques BM, BR, AC (ôg. 43 bis) à une paraiole étant données , chacune d'elles
détermine sur les deux autres des segments réciproquement proportionnels.
Menons les perpendiculaires Mm , Aa, etc., des points de contact et des points de rencontre sur la directrice. Dans le numéro précédent, nous avons vu que am = an; bm = br; en = cr. On déduit de là 2br = mr; 2cr = nr, puis 2 {br — cr) ou 26^ = mr — nr = »i» = 2an.
On a donc bc = an = am{ï)\
Puis an -\- bn = bc -\- bn^ ou oô = (?» = cr (2).
D'après les égalités (1) et (2), on a
am &£ ^ /q\
ab cr cn^ ''
(Fig. 43 bis,)
Les portions de tangentes étant divisées par les parallèles en parties proportionnelles à leurs projections sur wr, on déduit
des égalités (3) V Tp ~rR' ^® ^^ démontre la propo-
AM AN sition énoncée pour la tangente ANC ; 2* ^-^ = p^ ; d'où
