AM + AB AN + CN BM CA

— ^ — = — ^ — ^^ BÂ ~ CN ' ^^^ démontre pour

RPR Fnfîn^o BC AN. , . BG + CR AN + ON BCR. Enfin 3 cR-CN'^^^ BC — " AN

BR AC ou -^ = xî^ ; ce qui la démontre pour MAB.

Nous avons démontré ce théorème (63 bis) parce qu'on en déduit des conséquences très-utiles dans les applications usuelles de la parabole. (Voy. les questions proposées 19 et 20, page 106.)

•4. Théorème. La parabole est la limite vers laquelle tend une ellipse qui varie dans ces conditions : un foyer P et le sommet voisin sont fixes , tandis que le 2® foyer F' s'éloigne indéfiniment à droite sur AFF' prolongé (*).

(*) Il serait plus exact et plus intelligible de dire : Vers laquelle tend une DBMi-BLLiPSE BAB', qûi varie, etc., etc., comme ftl-dessus.

PARABOLE

Pour le démontrer, prenons sur OA prolongé à gauche une longueur Al = AF et menons DID' perpendiculaire à lAP. Le point I étant symétrique du foyer F par rapport à la tangente YAY' commune à toutes les ellipses que nous considérons , tous les cercles directeurs de ces ellipses qui ont pour centres les positions successives F', F/, F'a, etc., du foyer variable F', sont tangents en I à DID', et se rapprochent indéfiniment de cette droite à mesure que le rayon IF' grandit. A la limite, le cercle directeur se confond sensiblement à gauche avec DIIK.

(Fig. 44.)

Cela posé, menons une perpendiculaire quelconque HK à DID'. {Tracez cette droite sur la figure.) Cette droite rencontre chaque cercle directeur en un point que nous appellerons indistinctement H. Si nous joignons ce point H au centre F' ou F '3, etc., du cercle auquel il appartient, le rayon mené

rencontre l'ellipse qui a ce centre pour 2® foyer en un point M qui , joint au foyer F, donne constamment MF = MH. Cela est vrai quels que soient Tellipse et le cercle directeur considérés ; c'est donc vrai à la limite quand le pointH du cercle directeur est à très-peu près sur DID'.Mais alors le 2^ foyer de l'ellipse est à une distance infinie de DID' sur l'axe AFF' prolongé. Joindre le point H de DID' à ce point que nous appellerons F'n, c'est à très-peu près, c'est à vrai dire exactement mener une parallèle à AFF' qui n'est autre que HK. Mais alors pour l'ellipse limite , MH est la distance du point M de cette courbe à DID'. Comme MH = MF et que, d'après notre raisonnement, HK étant menée à une hauteur quelconque au-dessus de AF, M est un point quelconque de cette ellipse , notre raisonnement prouve bien que Y ellipse variable dans les conditions énoncées se confond A gauche à la limite avec la parabole qui a pour foyer le point fixe F et pour directrice la droite fixe DID'.

Remarque. Considérons la tangente au sommet YAY'. Le cercle principal de l'ellipse variable est constamment tangent à YAY' et se rapproche indéfiniment de cette droite à mesure que le rayon AO grandit. A la limite, il se confond sensiblement à gauche avec cette droite.