Conséquences du théorème précédent (n« 64) , (fig

Le n» 64 se résume ainsi : A la limite, Tellipse variable se confond à gauche avec la parabole dont le foyer est F, et la directrice DD'; le cercle directeur se confond avec DD' et le cercle principal avec la tangente au sommet YAY\ De là, résultent immédiatement des conséquences remarquables.

1* A la limite, des deux théorèmes concernant l'ellipse n« 20, résultent mot à mot les deux suivants :

La directrice Dlf d'une parabole est le lieu du point symétrique du foyer sur une tangente quelconque à la courbe (démontré directement n<* 55).

La tangente au sommet d'une parabole est le lieu de la projection du foyer sur une tangente quelconque à la courbe (démontré n« 55).

20 Diamètres de la parabole.

Chaque diamètre de l'ellipse est la projection d^une droite qui joint un point quelconque du cercle principal au centre de Tellipse (n* 32, 1"). Or, à la limite, le point en question est à très-peu près surYAY', tandis que le centre de l'ellipse est à une distance infinie sur Taxe AF. La droite en question et sa projection sont donc à la limite parallèles à AF. De là cette conséquence :

Tous les diamètres de la parabole sont parallèles à VaxCy et celle-ci : toute parallèle à Vaxe est un diamètre de la parabole.

PAEtABOLE 101

Les ordoDnoes de la parabole allaol IndèQniioeDt en croiMant a partir du 30in> net A, loute partUlèU à taxe, «1 par «vi[« (oui diamèlre de la parabole n'a qa'un point de commun avec la courbe.

Aucune corde proprement dite de ta parabaie n'ai paratUle à Vaxe. La parabole u'a dooc pas de diamètres conjugués (*),

Ou coostruil Biiémeoi la direclion conjuguas d'un diamèlre doQuâ de ta parabole, c'est-à-dire une dea cordes que es diamètre divisa en doux parties égales {nous le laiisona à faire comme eaiercice). On trouve plue aisément eticoro 1b diamètre des cordes de ta parabole parallèles à uns direction donuée. Par suite, on peut aisâment à l'aide dea diamètres, uieaar une tangente à uue parabole en un point donné de la courbe ou parallèle à une droite donnée. Mais 11 D'y a pas à cela grand avantage sur les procédés déji indii^uâs.

S* De la proposition énoncée d* 32, 4* Gonceroaut l'ellipse, résulte celle-ci déjà démonlrée directement u° 63>

La parallèle à l'acce menée par le point de concours de deux tangenlti à une parabole passe au milieu de la corde des contacts, et autti au mttieu delà tangente paralUle à cette cordecompriseentreleêtangenta concourantes.

Noua pourrions coatinuec ces déductions du théorème du n* 64, en déduire d'autres coDséqueacea non moias importanles; mais cela nous mènerait trop loin.

•«. AjKB d'un sbohent pababolique.

L'aire d'un segment par ràbolique MAM' (flg. 45), compris entre le sommet A et une corde ^AiA! perpendiculaire à l'axe est égale aux deux tiers de l'aire du rectangle gui a pour base celte corde et pour hauteur sa distance au

Soit MAM' (fig. 45) , un segment parabolique ainsi limité. Menons des tangentes MT, M,T, , MaTj , etc., en divers points de l'arc MA, les

(•) Tout cela est clair et ioteltigible si oi déjà indiqua l'éooDcé du Ibéorèma du n* 64 : La parahoU est la limite d'une demi-etlipse variable, BAB', çui varie,..., etc.

L'ellipse variable eulièra a pour limite deux paraboles STmélriques l'une de l'autre par rapport an petit aie BOB' de l'ellipse.

iOS COMPLÉMENT DE LA GÉOMÉTRIE.

cordes MM^.M^ M,..., les parallèles àraxeCË,C|E4 qui passent aux milieux E, E^, ... des cordes (n^ 63), et enfin les ordonnées MP, M^P^, MjPj,, EE, E,EV L'aire du trapèze MM^P^P = EE' X PP4. L'aire du triangle CT^ = TV^ EE' X TT^ = Va EE' X PP^ (de AT = AP et AT^ = AP^ (n*» 60), on déduit par soustraction, TT^ = PPJ. L'aire du trapèze MM^P^P est double de l'aire du triangle CTT^ . Il en est de même de tous les trapèzes et de tous les triangles analogues qui se trouvent à la suite de ceux-là quand on considère une série de points M^, M,, M3,..., marqués sur l'aro MA» les tangentes et les cordes correspondantes. Finalement la somme S des tror pèzes ainsi considérés est double de la somme s des triangles. Cela est vrai à la limite quand le nombre des points M^ , M, , etc., croît indéfiniment. Mais, dans ce cas, la limite de S est l'aire du demi-segment parabolique MAP ; la limite de s est l'aire parabolique extérieure AMT limitée par la tangente MT, TA, et l'arc AM. Mais les deux aires MAT, MAP composent ensemble le triangle MTP dont l'aire = 1/2 TP X MP = AP X MP (puisque TP = 2AP). S + 5 = 3* = AP X MP. Par suite, l'aire MAM' = 2MAP = 28=2/3 AP X MM'. Ce qu'il fallait démontrer.

Si on considère un segment parabolique compris entre la courbe et une corde MM' oblique à l'axe, on trouve par un raisonnement et une construction semblables, que l'aire de ce segment est les 2/3 l'aire d'un parallélogramme ayant pour côtés la corde MM', une tangente à l'origine C du diamètre CZ conjugué de MM' et deux parallèles à l'axe menées par M et par M'.

L'aire d'un segment de parabole compris entre deux cordes parallèles, MM', NN' et la courbe, est la différence de deux aires MAM', NAN', que l'on sait évaluer.

PABABOLOÏDE.

09. On appelle paraboloide le volume engendré par la révolution entière d^une demi-parabole autour de son axe.

On appelle segment de paraholoïdeh une base la partie d'un paraboloïde comprise entre le sommet de la parabole et un plan perpendiculaire à Taxe. Le cercle

PARABOLE

suivant lequel le paraboloïde est coupé par ce plan est la base du segment dont la hauteur est la distance du sommet à ce cercle. Le volume d'un segment de parahoUnde esl équivalent à la moilié du eff--

lindre de même hase et de même hauteur, V= 1/2 tt.IÏP^ X AP (fig. 45).

Pour le démontrer, considérons la flg. 45 avec toutes ses constructions. Le volume engendré par la révolution du triangle CTTi autour de Taxe =r 1/3 u ËË'* X PPi. Le volume du cylindre, qui a pour hauteur EE' et un rayon de base égal

àEE'^ic.EE'^ X PPi» Le second volume vaut trois fois le 1". Cela est vrai pour tous les triangles et les cylindres analogues qu^on a à considérer quand on augmente indéfiniment le nombre des points M^, Mf, etc., marqués sur Tare AM, en menant les cordes MiM|, M| Ms..., les tangentes correspondantes, etc. La somme des cylindres S = 3 fois la somme s des volumes engendrés par les triangles. Mais la limite de s est le volume engendré par la révolution de la demi-parabole MAP, c^est-à-dire le segment de paraboloïde ; la limite s est le volume engendré par la révolution de Taire parabolique extérieure AMT autour de Taxe. La somme de ces deux limites, vol. MAP + ^ol. MAT, est le volume engendré par le triangle

MTP, qui est égal à 1/3 wMP^XTP=2/3"MP^ XAP, puisque TP=2AP. S+s

= 2/3 w"MP^ X AP. De S = 38, on déduit S -f « = 4« et S ou vol. MAP = 8/4

(8 + »)=2/3«M?X APx3/4 = l/27rMP^XAP. Ce Q. F. D.

Le volume d*un segment de paraboloïde à deux bases analogues se calcule aisé-^ ment. Ce volume est la différence de deux segments à une base que l'on sait évaluer.