IV. HÉUCE
«. Oq appelle hétiee la courbe décrite par l'enroalement d'un des côtés d'un angle aigu sur la surface d'un cylindre droit effectué dans les conditions suivantes (flg. 50). L'un des côtés AA' de cet angle est perpendiculaire à une génératrice AG du cylindre, l'autre AC est situe dans l'angle droit GAA'. Le plan GAA's'enroulant indéÛniment autour du cylindre, AA' s'enroule indéfininient sur la circonférence de la section droite AB tandis que la droite ACE" s'enroulant sur le cylindre devient la courbe AICKE...
"(Sf — —^
(Flg. 50.)
qu'on appelle une Mice.
Prenons AA' égale à circonf. AB, et construisons le rectangle AA'CC. Traçons ensuite CC" égale et parallèle à AA' et achevons le rectangle CCE^'E' égal CAA'C. Ainsi de suite. Dana un l" tour, AA' s'enroule sur circonférence AB, et AC enroulé devient l'arc d'bélice AIC. Le 2° rectangle 0'CB"E' a alors la position ECCE'. La seconde partie CKE de l'hélice est évidemniônt produite par l'enroulement de CE", devenue CE*, autour du cylindre. Ainsi de suite. L'hélice telle que nous l'avons définie est évidemment composée de parties égales entre elles AIC , CKE , ËLG , etc.
L'hélice peut donc être considérée comme engendrée par l'enroulement continu de la droite ACTE" indéâniment prolongée, ou par l'enroulement successif des diagonales AC, CE",. ..dune série de rectangles égaux AA'CC, CC'E"E',..., ou enfin et pli»^ amplement par l'enroulement simWfan^ des , de plusieurs rectangles égaux pE, etc. On peut étudier l'hélice eu \ l'une de ces trois hypothèses.
HELICB.
f». Spire. On appelle spire la portion d'hélice comprise entre deux points de rencontre consécutifs de la courbe et d'une génératrice du cylindre. Ex. : AIC, CKE, ELG.
If 4. Pas de l'hélice. On appelle pas de l'hélice la distance rectiligne des deux extrémités d'une spire. Ex. ; AC ou CE.
Deux hélices quelconques tracées sur le même cylindre diffèrent par leur pas ; ce qui revient évidemment à dire , circonférence AB = AA' étant une longueur constante, qu'elles diffèrent par la grandeur de l'angle C'AA'.
7*. Propriétés de l'hélice. Toutes les spires d'une hélice étant identiquement égales, il suflBt, pour étudier les propriétés d'une hélice, de considérer une seule spire. Nous considérerons donc seulement la partie du cylindre sur laquelle se trouve une spire entière avec ses deux bases circulaires, et nous placerons à côté le rectangle dont la diagonale enroulée produit cette spire (fig. 51).
fO. Ordonnées , abscisses. On appelle ordonnée d'un point M de l'hélice la perpendiculaire Mm qui le projette sur la circonférence AB. On appelle abscisse l'arc de cercle Am compris entre l'origine A de l'hélice et le pied m de l'ordonnée. Nous représenterons par A le pas de l'hélice et par r le rayon de circonférence AB.
99. Théorème. L'ordonnée et l'abscisse ^ un point de F hélice sont dans un rapport constant. Ce rapport est celui du pas de
l'hélice à circonférence AB ; ^ —
Imaginons que le cylindre partiel ^ ABDC se développe en tournant autour de AC et devienne le rectangle AC'A'C (flg. 51).
L'hélice déroulée devient AC ; AA' = 27cr et A'C = AC = A. Prenous A»i'= arc Amet élevons m^W perpendiculaire à AA'. On a évidemment m!W=Mm. Les triangles
(Fig. 51.)
semblables MAm' , CA'A donnent Mw' : Am' = CA' : AA' ; ou Mm : arc Am = h : 2icr. C. Q. F. D.
99. THÉORÈifE. La tangente en un point de V hélice fait avec la génératrice du point de contact un angle constant.
La sous-tangente est égaie à l'abscisse du point de contact.
Considérons (fig. 52) une sécante quelconque NM, et prolongeons-la jusqu'au plan de la base en T. Abaissons les ordonnées Nn, Mm. D'après la figure,
Nn nT , ,, .,, arc An arc Am m = l^' «t bailleurs ^^^ = -j^^
I o f^f^^ j» ^ Nn arc An p. nT
arc An ^^ .. nT— mT mT
• Par suite,
arcAm ' arc An — arcAm arcAm
nt\a »;9 \ / xi. 1 corde nm arc Am ,
(Fig-w.) (arithm.Kou = — ^ — Imaginons
arc ntn ml
maintenant que le point N se rapproche indéfiniment du point
N sur rhélice. Le point n se rapproche indéfiniment de m sur
circonférence AB , et, à la limite, la sécante NMT devenant
tangente à Thélice en M, nmT devient tangente à l'arc
AmB en m. Le rapport de la corde nm à Tare nm a pour
limite 1. Le rapport toujours égal de mT à l'arc Am a la même
limite; à la limite, ^ J^ == 1 ; mT = arc Am. Par suite,
mT
le triangle MmT est à la limite égal au triangle M'Am' situé sur le rabattement de la spire (fig. 51). L'angle mMT = m'M'A = A'C'A, c'est-à-dire est égal à l'angle constant de la spire déroulée AC et d'une génératrice du cylindre. Les deux propositions annoncées sont donc démontrées.
On appelle sous-tangente la droite mT qui joint le pied m de Tordonnée Mm au pied T de la tangente MT sur le plan de la base du cylindre.
Problème. Construire la projection d'une hélice et de sa tangente en un point quelconque sur un plan perpendiculaire au plan de la base du cylindre pris lui-même pour plan horizontal de projection.
Il suffit de considérer une spire.
Soit ^Y la ligne de terre. On trace sur le plan horizontal eirc. AO (ARB5), base du cylindre. Toutes les génératrices et la spire entière sont projetées horizontalement sur cette circonférence.
On abaisse Bf et Ao' perpendiculaires sur yy, et on les prolonge au-dessus de ô* Y des longueurs Vô/ et a!a,', égales au pas de l'hélice; on ta-ace &/a,'.Toutes les génératrices et la spire entière ont leurs projections verticales sur le rectangle o' 1/ é/ tf, .
On construit la projection de la spire par points. Pour le faire aisément et régulièrement, on divise la circonférence AO et le pas ff/f de l'hélice eu un même nombre de parties égales, en 16 parties par exemple. Noua avons numéroté les points de divipig- 5!,) sion de la circonf. Cela
posé, pour trouver les projections verticales des 15 points de la spire projetés horizontalement aux points (1), (2), (3), etc., de cire. AO, il suffit d'agir pour chacun comme nous allons le faire pour le ■ point m (n° 5) , de cette circonférence. On abaisse de ce point (5) une perpendiculaire à Ô'Y qu'on prolonge au-dessus de cette ligne à la rencontre de la parallèle è. ô'Y mené par la 5" division de b'b\. Le point, m', de rencontre de ces deux lignes (numéroté 5) est la projection du point de la spire dont l'ordonnée = '/,« du pas de l'hélice et l'abscisse = */<, de cire. AO (n' 77). Nous avons agi ainsi pour les 15 points (1), (2), (3), etc. Pour construire la tangente en point, au point M par ex., dont les projections sont m et m' (n* 5), on construit la sous-tangente en m, c'est-à-dire qu'on
mène i»T tangente en m à cire. et on prend nCT = arc Am, c'est-à-dire = V< 6 de cire. OA (n®78). (Pour trouver cette longueur, on trace une droite égale à cire. OA, c'est-à-dire = "/t OA, et on prend »iT = les Vie de cette droite). Le point T étant trouvé, on le projette verticalement en f en abaissant T^ perpendiculaire à B'Y. On tracé ensuite m'V qui est la projection verticale de la tangente MT.
On peut construire ainsi plusieurs tangentes à la projection verticale de la spire qui aident à construire cette projection ; ce que Ton fait en joignant les points o^, (1), (2), etc., jusqu'à a\ par une ligne continue.
Les plans Bô'ô'i , Aa'a\ perpendiculaires au plan vertical, étant tangents au cylindre , leurs traces verticales yy ^ , a'a'^ sont tangentes à la spire aux points (8), a! et «V
On peut construire ainsi les projections verticales d'autant de spires que Ton veut, en se servant de la même projection horizontale, cire. AO, et en prenant pour lignes de terre successives des parallèles équidistantes a'6', a!^ b\, a\ ^j, etc.
Hbucoïde gauche. On appelle ainsi la surface engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur une hélice et sur l'axe du cylindre auquel elle est toujours perpendiculaire.
APPLICATIONS DE L'hÉLICE.
ESCALIERS. Les escaliers tournants renfermés dans les tours rondes sont en général des hélicoïdes gauches. Les intersections de la génératrice de la surface rampante avec le noyau central et la paroi de la cage sont deux hélices de même pas. Cette surface a l'avantage de présenter partout une pente uniforme. On y monte avec la même aisance que sur un plan incliné, sauf toutefois la fatigue de monter en tournant au lieu de monter en ligne droite.
Vis. L'hélice sert à la construction des vis dont les emplois sont si nombreux et si importants. On distingue deux sortes de vis, la vis à filet carré en métal, et la vis à filet triangulaire en métal ou en bois.
(Fig. 54.)
