LIVRE I
5* Le9 angles extérieurs du mime côté sont supplémentaires.
i* Les angles alternes internes sont égaux. Soient, en effet,
les parallèles ÂB, CD, coupées par la transversale ËF : les angles alteimes internes AIH, IHD sont égaux. Pour le démontrer, par le point 0, milieu de IH, je mène la droite KOM perpen<diculaire à CD, et par suite à AB. Les deux triangles rectangles ainsi formés, OIK, OMH, sont égaux; car l'hypoténuse 01= OH par construction (0 milieu de IH) : les angles aigus en sont égaux comme opposés par le sommet (n* 47). Les triangles OIK, OMH étant égaux, le troisième angle OIK du premier est égal au troisième an^le OHM, du second. Mais Tangle OIK, c'est AIH; OHM, c'est IflD^ donc A1H=IHD; ce qu'il fallait prouver.
De AIH = IHD, on conclut que B1H=:IHC; car BIH et ÏHC sont respectivement les suppléments de AIH et IHD (n" 21).
2" Les angles correspondants sont égaux. Par exemple, EIB=1HD.
En effet, EIB=A1H (opposés par le sommet); IHD = AIH '(alternes internes); les deux angles ElB, IHD, égaux à un même troisième, sont égaux entre eux.
On démontrerait de môme que AIE=1HG; etc..
3* Les alternes externes sont égaux. Ex. : E1B=CHF.
En effet, E1B=»A1H (opposés par le sommet); CHF = IHD (opposés par le sommet); mais A1H=1HD (alternes internes); donc les angles EIB, CHF, égaux respectivement à des angles égaux, sont égaux entre eux. On prouve de même que DHF=AIE.
4« Deux angles intérieurs du même côté valent ensemble deux angles droits, Ex. : BIH4-IHD=2 droits.
En effet, la somme des angles adjacents BlH-f AIH=2 droits; mais AIH étant égal à IHD (alternes internes), on peut remplacer AIH par IHD ; ce qui donne BIH + IHD = 2 droits.
On prouve de même que AiH4-IlIC==2 droits.
5* Deux angles extérieursidu même côté valent ensemble deux droits. Ex. : EIB+DHF = 2 droits.
En effk% la somme des angles adjacents EÏB4*BIH=2 droits; mais BIH = DHF (angles correspondants) en remplaçant BIH par DIIF, on trouve EIB + DnF=2 droits.
On démontrerait de môme que GIE-{- CHF = 2 droits.
Iléciproques.
I 59. Les théorèmes réciproques des précédents sont vrais.
i* Deux lignes AB, CD étant coupées par une troisième EF, si les angles alternes mternes AIH, IHD sont égaux ^ les lignes AB^ CD sont parallèles.
En effet, la parallèle à CD menée par le point I, doit faire avec IH, à gauche, un an^l.e égal à son alterne interne IHD , c'est-à-dire un angle précisément égal à l'angle AIH. Cette parallèle n'est donc autre que AI (d'après le n* 9).
Où démontre de môme que si les angles correspondants sont ^jfflttx, par exemple, E1B=1HD, les lignes AB, CD sont parallèles. Si la somme des angles intérieurs du même côté BIH + IHD =2 droits^ AB et CD sont parallèles.
En effet, la parallèle à CD, menée par le point I, doit faire avec IH, adroite, un angle supplémentaire de IHD, c'est-à-dire un angle précisément égal à BIH (n*21). Cette parallèle n'est donc autre queIB(n*9).
On démontre de môme les deux réciproques que nous n'énonçons pas.
Des théorômes précédents on en déduit d'autres, tels que celui-ci t
Deux lignes AB, CD étant coupées par une troisième KF, si la somme des angles intérieurs B de même côté est différente de deux d'^oitSy les deux lignes AB, CD ne sont pas parallèles.
En effet, deux parallèles feraient avec la sécante EK des angles intérieurs du môme côié valant ensemble deux droits.
Il y a des théorèmes analogues relatifs aux autres couples d'angles .
