LIVRE I

Tliéorème*

4>60. Deux angles qui ont les côtés parallèles sont égaux ou supplémentaires.

Considérons d*abord deux angles ABC, DEF qui ont leurs côtés

parallèles et dirigés dans le même sens; je dis que ces deux angles sont égaux. Pour le démontrer, je prolonge DE à la rencontre de BC en I; cela fait, j'ai rangle ABC=DIG (angles correspondants formés par les parallèles AB, D( et la sécante BC); de môme DEF=DIC (angles correspondants formés par les parallèles BC, HF et la sécante Dl); deux angles ABC, DEF égaux à un troisième DIG sont égaux entre eux; ABC=DEF. Ce qu'il fallait prouver.

Considérons maintenant le cas le plus général. Nous raisonnerons ainsi : soit ABC l'un des angles, et E le sommet du second angle qui a ses côtés parallèles à AB et à BC. Par le point E il ne passe qu'une parallèle à AB qui est DI; le deuxième angle a donc l'un de ses côtés dirigé suivant DI^ par le môme point E il ne passe qu'une parallèle à BG, c*est la ligne HF ; notre second angle a donc Tun de ses côtés dirigé suivant HF; ce second angle est doncTun des quatre angles qui ont leur sommet en E. Parmi ces quatre angles, nous avons déjà considéré DEF, qui a ses côtés dirigés dans le môme sens que ceux de ABC; DEF=ABC.Par suite HEl=DEF=ABC; DEH, supplément de DEF, est aussi supplément de ABC; il en est de môme de lEF. Notre second angle étant l'un des quatre que nous venons de considérer au sommet Ë, est égal à l'angle ABC ou bien est le supplément de ABC.

En résumé, et d'après notre figure :

Deux angles qui ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens sont égaux. Ex. : ABC, DEF.

Si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux en sens contraires^ les angles sont encore égaux, Ex. : ABC, ÏEH.

Enfin, si les deux angles ont deux côtés dirigés dans le même sens et deux en sens contraires, ils sont supplémentaires. En. : ABC, DEH»

COURS DE GÉOMÉTAIE.

Théorème.

6i. Deux angles qui ont les perpendiculaires sont égaux ou supplémentaires.

Je vais démontrer tous les cas possibles.

Soit ABC l'un des angles proposés, et E le sommet du second

angle dont les côtés sont respectivement perpendiculai« res à AB et à BC. Par le point E il ne passe qu'une perpendiculaire FH à la ligne AB; notre second angle a nécessairement un côté dirigé suivant FH. Par le même point E il ne passe qu'une perpendiculaire DI à BC; notre second angle a son autre côté dirigé suivant DI; ce second angle est donc Tun des quatre qui ont leur sommet en E. Parmi ces quatre angles^ considérons l'angle DEF de môme espèce que l'angle donné ABC, c'est-à-dire aigu comme lui; DEF=ABG. Pour le démontrer, je mène par le point B une parallèle BO à ED, dirigée dans le même sons que ED; cette ligne BO est^ comme sa parallèle ED, perpendiculaire à BC; par le môme point B je mène BM parallèle à EF, dans le même sens que EF; BM est perpendiculaire à BA. J'ai formé ainsi un angle MBO égal h DEF (théorème précédent, l"cas); il me suffira de prouver que MBO=ABC. Or, à cause de OB perpendiculaire à BC, ABC+ABO=OBG = i droit; à cause de MB perpendiculaire à AB, MBO+ ABO=MnA = l droit. D*où on conclut ABC+ABO=MBO-fABO, puisABC=MBO. Mais MBO= DEF; donc ABC == DEF.

Cela posé, 1EH=DEF= ABC; DEH supplément de DEF est aussi supplément de ABC; enfin IFF, supplément de DEF, est supplément de ABC. Notre second angle, qui est l'un des quatre angles au sommet E, est donc égal à ABC ou supplément de ABC. Deux angles qui ont les côtés perpendiculaires sont égaux quand ils sont de même espèce^ cest-à-dire tous deux aigus ou tous deux

UTRE I. 29

obtus; ils sont supplémentaires quand ils sont d'espèces diffé" rentes.

EXERCICES

Théorèmes à démontrer,

91. La parallèle à un côté d'un triangle^ menée parle point do concourt des bistectrices, est égale A la somme des segments adjacents A ce côté qu'elle détermine sur les deux autres.

23. Deux droites respecliTement parallèles on rospectiToment perpendiculaires à deox droites qui se coupent ne sont pas parallèles.

93. Les bissectrices de deux angles qui ont les côtés parallèles sont parallèles oa perpendiculaires Tune A l'autre.

94. Il en est de même des bissectrices de deux angles qui ont les côtés perpendiculaires*

S5. Les parallèles menées par les trois sommets d'un triangle aux côtés opposés forment un triangle quadruple du triangle proposé. ' 26. Les trois hauteurs d'un triangle concourent au même poinU

Tliéorèmc.

•f C2. La somme des angles d'un* triangle quelconque est égale à deux angles droits.

Soit ABC un triangle donné quel- /B conque ; je prolonge Tun des côtés BC, et par le point C je mène CE parallèle à BA. Nous avons au sommet C trois

D angles dont la somme AGB + ACE -j-

ECD=2 droits (n* 18). De ces trois angles l*un ACB appartient au triangle; le second ACE= l'angle BAC du triangle (angles alternes internes formés par les deux parallèles BA, CE et la sécante AC); le troisième ECD =. Tangle ABC (angles correspondants formés par les parallèles BA, CE et la sécante BCD).

Par conséquent la somme des angles du triangle ACB+ BAC + ABC = ACB + ACE + ECD = 2 droits. C. Q. F. D. 63.' Remarque. L'angle ACD formé par l'un des côtés AC d'un triangle, et le prolongement CD d'un autre côté s'appelle un angle extérieur au triangle.

Chaque angle extérieur à un triangle est égal à la somme dei angles intérieurs non adjacents.

Ex.: ACD = A + B.

En e^vi, on voit sur notre figure que ACD se compose de ACE = BAC et de ECD = ABC.

G5 bis. Corollaire I. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit ou un seul angle obtus.

Autrement la somme des angles vaudrait plus de deux droits.

(»4. CoROLLAiRB II. La somme des deux angles aigus d'un triangle rectangle est égale à un angle droit,

G5. Corollaire lll. Si deux angles A et B d'un triangle ABC, sont égaux, chacun à chacun, à deux angles D et E d'un autre triangle DEF, le troisième angle du premier triangle est égal au troisième angle du second.

En effet, des deux égalités A -f B + C = 2 droits, D + E + F= 2 droits, on conclut A-|-Jf^+G = D+E-|-F; d'où, à cause de A + B = D + E, résulte C = F.

GG. Deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal, ont deux angles égaux chacun à chacun; le isecond angle aigu de l'un est donc égal au second angle aigu de l'autre.

G7. Connaissant deux angles d'un triangle, on trouve le troisième en retranchant de deux angles droits la somme des angles donnés.

Tliéorènic.

GB. La somme des angles d'un polygone est égale à autant de fois deux droits qu'il y a de côtés moins deux,

Ex. : Si le polygone a six côtés, 6 — 2=4; la somme des angles du polygone est égale à 4 fois 2 droits, ou à 8 angles droits.

Soit ABCDEF un polygone donné. Je joins le sommet A à tous les sommets du polygone; j'obtiens ainsi autant de triangles qu'il y a de côtés dans le polygone moins 2 (moins les deux qui passent en A). Il est maintenant facile, en faisant la revue des angles du polygone, de voir que ces angles se composent

LIVBE I. 31

avec les angles des triangles; la somnnie des angles du polygone est précisément la même que celle des angles des triangles. La somme des angles de chaque triangle vaut deux angles droits; le nombre des triangles est égal au nombre des côtés du polygone, diminué de deux; donc la somme des angles des triangles, ou ce qui est la même chose, la somme des angles du polygone, est égale à deux droits multipliés par le nombre des côtés du polygone diminué de 2. C. Q. F. D.

' Si n désigne le nombre des côtés du polygone, la somme de ses angles est égale à 2'*"'*** x (« — 2) = 2r4*'- — 4*'-.

G9. La somme des angles d'un quadrilatère est égale à 2 *'*X (i — 2) = 2"''X^2=quatre droits. Si ces angles sont égaux enire eux y chacun dVux est droit.

La somme des angles d'un octogone est 2*'*^*" X (8—2) = 6 fois S droits = 12 droits; si ces angles sont égaux, chacun d'eux vaut

-^ ou ^ d'angle droit; etc.

70. On appelle polygone équilatéral celui qui a tous ses côtés égaux ; polygone équianglgy celui dont tous les angles sont égaux.

7i. On appelle polygone régulier un polygone qui est à la fois -^jwian^/e et c^'wi/a/eyW, c'est-à-dire qui a ses côtés égaux et ses angles égaux.

Deux polygones sont dits éqniangles entre eux quand tous les angles du premier sont égaux, chacun à chacun, aux angles du second.

EXERCICES

Théorèmes à démontrer,

S7. Dans ud trianii^le ACC, l'angle des bisi^ecirices des angles BelC^yautl^'-f 1/2 A. 4^ S8. Quelle est la valeur de cet angle, 4* quand B = G et A = 1/2B; t* quand

B=C et A=2b (ex. 27)?

^ |9. Les bissecirlces des angles d'un quadrilatère Torment un second quadrilatère dont les «ngles opposés sont supplèmenuires. Quand le premier quadrilatère est ua parallélogramme^ le second e?t un rectangle.

30. Si les acgies opposés d'un quadrilatère sont supplémentaires, les bissectrirei dcf aoglea des côtés opposés (prolongés) sont perpendiculaires Tune à l'autre.

£n général, l'angle de ces bissectrices est égal à la demi-somme de deux angles opposés.

•^ 31 . — Quel est le polygone dont la somme des angles est 26 droits." ■f 851. Quel est le polygone régulier dont l'angle vaut 5/3 d'angle droit? 33. Trourer l'angle de chaque polygone régulier jusqu'au polyg. de 20 cètéu.

34. CAitBEUOv. On propo«6 d^assembler autour d'un point des poljgonef régnllert écaux de manière quMI n'y ail pas d'inlerTalle yacant adjacent i ce point; tfee qnelf polygones réguliers peut-on faire un pareil assemblage?

35. On peut former un assemblage remplissant la condition principale préoédeiit« (Ex. 34), 4* ayec des octogones réguliers et des carrés; S* arec des dodéeagonet «t des triangles èquilatéraux.