LIVRE I. 3o

AB, CD et la sécante BD); l'angle ADB = rangle DBC {alternes internes formés par les parallèles AD^ BG); nos deux triangles ont donc un côté égal, BD, adjacent à deux angles égaux chacun ii chacun. Ces deux triangles étant égaux^ le côté AB opposé à l'angle ADB est égal à CD opposé à l'angle égal DBC; de même AD opposé à l'angle ABD est égal à BG opposé à Tangle BDC. Enfin, l'angle A et l'angle C opposés au côté commun DB sout égaux ; l'angle ADC = l'angle ABC, puisque ces deux angles sont composés de parties égales chacune à chacune

74. Corollaire I. Deux parallèles AD, BC comprises entre deux autres parallèles AB, CD sont égales.

75» Corollaire IL Si AD et BC étaient perpendiculaires à CD; elles mesureraient les distances des points A et B à la ligfie CD . comme la figure n'en serait pas moins un parallélogramme, on aurait AD=BC; d'où ce théorème important :

DetAX parallèles sont partout également distantes.

7G. Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont égaux, ils sont aussi parallèles^ et la figure est un parallélogramme,

Tlicorèmc.

Soient AB = CDct AD = BC. Menons la diagonale BD; elle

décompose le quadrilatère en deux triante gles ABD, BCD, qui sont égaux comme ayant les trois côtés égaux; leurs angles sont donc égaux chacun à chacun. L'angle ABD opposé au côté AD est égal à l'angle BDC opposé au côté BC ; mais ces deux angles ABD, BDC ont la position d'angles alternes internes formés par les deux droites AB, CD et la sécante BD; les droites AB, CD sont donc parallèles (59). De môme l'angle ADB opposé à AB est égal à l'angle DBG opposé à CD; mais ADB et DBC sont alternes internes; donc les lignes AD, BC sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme. C. Q. F. D.

Théorème,

-f 77. Si dans un quadrilatère ABCD, deux côtés opposés, AB, CD, sont égaux et parallèles^ la figure est un parallélogramme.

Pour le démontrer, menons la diagonale BD ; elle décompose le quadrilatère en deux triangles, ABD, DBG qui sont égaux comme

ià COURS DE GÉOMÉTRIE.

ayant Tangle ABD = BDC (alternes internes formés par les parallèles AB, CD); le côté BD commun; et AB=DC par hypothèse. Ces triangles étant égaux^ Tangle ADB opposé à AB est égal à Tangle DBC opposé à CD; or ces angles sont alternes internes formés par les lignes AD, CB coupées par BD; AD et CB sont donc parallèles, et le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

EXERCICES

Théorèmeg à démontrer.

36. Si les angles opposés d'un quadrilatère sont égaux, la figure est on parallélogramme.

37. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en deux partial égales, la fignre est un parallélogramme.

38. On appelle centre d'une figure un point tel que toute droite qui y passe et so termine au contour de la figure^ est difisée par ce point en deux parties égales. Le point de concours des diagonales d'un parallélogrammme est le centre de la figure,

39. Les diagonales d'un rectangle sont égales et également inclinées sur le même côté.

40. Réciproquement, si les diagonales d*un parallélogramme sont égales^ la figure est un rectang* •.

40 bis. En menant par les extrémités de chaque diagonale d'un quadrilatère des parallèles à l'autre diagonale, on forme un parallélogramme équifalant an double du quadt ilatère.

Théorème.

78. Les diagonales d'un parallélogramme se divisent mutuelle* ment en deux parties égales.

En effets les deux triangles AOB, COD sont égaux comme ayant

un côté égal AB=CD (74), adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun, savoir :

^ L^^^^ ^ ^^^^ C OAB = OCD (alternes internes formés par

les parallèles AB, CD); OBA=ODC (alternes internes formés par les mêmes parallèles). Ces deux triangles OAB, COD étant égaux, on en conclut que le côté OB, opposé à l'angle OAB, est égal à OD opposé à l'angle OCD; puis OA opposé à OBA égale OC opposé à ObC.

Thcorèine.

79. Les diagonales d'un losange se coupent en deux parties égales et à angles droits.