LIVRE IL
DE LA CIRGOiNFÉRENGE DU CERCLE.
DÉFlNITIOlfS.
-h 80i On appelle circonférence de cercle une courbe plane dont
tous les points sont également distants d*un point intérieur qu'on appelle centre.
Le cercle est la surface plane entièrement limitée par la circonférence.
On dit quelquefois cercle pour circonférence; pour ne pas faire confusion, il faut se rappeler que le cercle est une surface, tandis que la circonférence est une ligne.
On appelle rayon toute ligne droite qui va du centre à la circon* férence. Ex : OC, OL On appelle diamètre toute ligne droite qui joint deux points de la
circonférence en passant par le centre. Ex. : DE. D'après la définition de la circonférence, tous les rayons sont égaux; tous les diamètres sont aussi égaux et doubles du rayon.
On appelle arc une partie déterminée de la circonférence. Ex. : l'arc AMB.
On appelle corde ou sous-tendante d*un arc AMB la droite AC qui joint les extrémités de cet arc
Un segment de cercle est une partie de cercle comprise entre un arc et sa corde. Ex. : le segment AMB.
Un secteur est la partie du cercle comprise entre un arc et les
deux rayons qui aboutissent à ses extrémités. Ex. : le secteur COI.
On appelle en général sécante une ligne droite qui coupe la cir-
conférence. Ex. : les cordes et les diamètres prolongés sont des sécantes.
81. Une ligne droite tte saurait rencontrer une circonférence en plus de deux points.
En joignant le centre aax points de rencontre d'une droite et d'une circonférence^ on a des obliques égales. Or on sait qu*on ne peut mener que deux obliques égales du même point à la même droite (n* 44).
82. On appelle tangente une ligne qui n'a qu'un point de com* mun avec la circonférence.
83. Remarque. Il est évident que tous les points situés à l'intérieur d'un cercle sont à une distance du centre moindre que le rayon ; il est aussi évident que tous les points extérieurs sont à une distance du centre plus grande que le rayon. On peut donc consi" dérer une circonférence comme le lieu géométrique de tous les points du plan gui sont situés à une distance de son centre égale au rayon.
84. Deux cercles de même rayon sont égaux. En effet, si Ton place un de ces cercles sur l'autre de manière que les centres coïncident, un rayon quelconque de l'un se plaçant sur un rayon de l'autre, leurs extrémités coïncident; il résulte de là que les circonférences et par suite les cercles coïncident exactement
85. Tout diamètre AB divise la circonférence et le cercle cha^ cun en deux parties égales.
Menons un rayon quelconque OM, et au-dessous de AB le rayon
ON, tel que l'angle BON = BOM. Puis faisons ,AH tourner la partie supérieure AMB de la figure
j^[ ^ — ju autour de AB comme charnière jusqu'à ce qu'elle
y N ^^^^ rabattue sur la partie inférieure. Le rayon OM se place sur ON et M tombe en N. Tous les . points de Tare AMB se placent ainsi sur ANB; ces deux arcs coïncident ainsi que les deux parties du cercle; le théorème est donc démontré.
uyhe II. 89
Les diamètres sont des cordes qui passent par le centre; pour distinguer, on convient d'appeler spécialement core/e une ligne qui joint deux points de la circonférence sans passer par le centre. Toute corde AB est plus petite qu'un diamètre. En effet, un diamètre vaut deux rayons, et la corde AB est plus
petite que la somme AO + OB des deux rayons qui aboutissent à ses extrémités.
ReuARQUE. Chaque corde partage la circonférence en deux arcs inégaux, l'un plus petit, l'autre plus grand qu'une demi-circonférence. K~ £x. : AMB, ANB. La corde AB sous-tend Tun et
Tautre de ces arcs; mais à moins d'une mention expresse quand on parle de l'arc sous*tendu par une certaine corde, il s'agit toujours de l'arc plus petit qu'une demi-circonférence.
DiPENDAKCE MUTUELLE DES ARCS ET DES CORDES.
■^ 86. Des arcs égaux appartenant à la même circonférence y ou à des circonférences égales, sont sous-tendus par des cordes égales. Autrement dit :
Quand deuxarcsde même rayon sont égaux Jeurs cordessoni égales.
Soient le rayon CD égal au rayon OA, et l'arc AMB = DNE : la corde AB est égale à la corde DE. Pour le démontrer, je place le second cercle sur le premier, de manière que le rayon CD coïncide avec OA. Les deux circonférences égales coïncident dans toute leur étendue (n* 84). Les deux arcs égaux DNE, AMB, commençant au même point A, doivent finir au même point; c'est-à-dire que le point E tombe au point B. Cela étant, la corde DE coïncide exactement avec AB»
Théorème.
87. Dans la même circonférence ou dans des circonférences égales^ des cordes égales sous-tendent des arcs égaux.
Soient (môme figure) le rayon AO = CD, et la corde AB = DE; Tare AMB est égal à Tare DNE. En cffet^ oh voit d'abord que les triangles AOB, CDE ayant les trois côtés égaux, chacun à chacun, sont égaux; donc l'angle DCE = AOB. Cela posé> plaçons le cercle G sur le cercle en mettant le rayon CD sur OA. Puisque l'angle DCE = Tangle AOB, le rayon CE tombe de lui-même sur son égal OB, et le point E arrive en B; le point D étant déjà en A, les deux arcs DNE^ AMB coïncident évidemment dans toute leur étendue; ils sont donc égaux.
Théorème.
88. De deux arc$ pris sur la même circonférence ou sur des circonférences égales, le plus grand est sous-tendu par la plus grande corde.
\a'. rnyon AO étant égal à CD, si l'arc AE'B est plus grand que DNE,
T' la corde AB est plus grande que DE. Pour le dé-
// \ S<^ montrer, transportant la figure CDNE sur AOE'B,
^^^itIS^'' ) je place le rayon CD sur son égal OA, le point G
V ^ y en et le point D en A; l'arc DNE s'applique sur
^^<v.l..^^ AE'B, à partir de A ; mais comme DNE est plus pe-
T tit que AE'B, le point E tombe en E', en deçà de
je /^ \ B ; de sorte que la corde DE prend la position AE';
Ù, \ \ je trace OE'. Cela fait, si l'on compare les triangles
^r ^ y AOB, AOE', on trouvele côté OA commun, OB=OE' x^^^ et l'angle AOB plus grand que AOE'; donc le troisième côté AB du premier est plus grand que le troisième côté AE' du second (31); AB> AE' = DE; c'est ce qu'il fallait démontrer. "^ 88 bis. Résume. Dans la même circonférence ou dans des circonférences égales :
1* Deux arcs égaux sont sous -tendus par des cordes égales. 2« Suivant qu'un arc est plus grand ou plus petit qu'un autre, la corde du premier est plus grande ou plus petite que celle du second.
Béciproque.
89. Dans la même circonférence ou dans des circonférences égales, la plus grande corde sous -tend le plus grand arc.
