LIVRE IL Al

Soît par exemple (figure précédente) sur les circonférences égales et C, la corde AB plus grande que DE ; je dis que Tare AE'B est plus grand que DNE. En effet, il résulte des théorèmes précédents, n"* 86 et 88, que dans la même circonférence ou dans des circonférences égales, une corde n'est plus grande qu'une autre que dans le cas où l'arc sous-tendu par la première est plus grand que Tare sous -tendu par la seconde (V. le Résumé n* 88 bis). La corde AB étant dans le cas actuel plus grande que DE, c'est que l'arc AE'B est plus grand que l'arc DNE.

EXERCICES

Théorèmes à démontrer,

4. Parle point M intérieur ou extérieur et parle centre O d'une eireontérence, on mène une séuante AMB ou &IAB qui la rencontre en A et en B : 4* MA est la plus petite et MB est la plus grande distance rectiligne du point M à la circonférence; S* les droites qui vont de H à la circonrérence sont égales deux à deux; 3* de deux de ces droites, la plus grande est celle dont la deuxième extrémité est la plus éloignée du point A.

9. La plus petite et la plus grande distance rectiligne de deux circonférences tout ^ fait intérieures ou tout à fait extérieures Tune à l'autre se mesurent sur la droite qui pane par leurs centres.

3. AB et CD sont deux cordes égales qui se rencontrent en un point I intérieur ou extérieur au cercle; A et G sont leurs extrémités les plus rapprochées. 4* IA=IG et 1B=ID; S* AC et BD sont parallèles; S" les points milieux de AC et de BD, le point I et le point de concours de BC et de AD se trouvent sur le même diamètre.

k. Lieu des points situés à une distance donnée : 4* d'un point donné; — S"* d'une circonférence donnée.

TIléorème.

^ 90. Le rayon perpendiculaire à une corde divise cette corde et Varc souS'tendu en deux parties égales.

Soit, par excfnplc, le rayon OD perpendiculaire à la corde AB; il divise cette corde, et Tare sous-tendu ADB, chacun en deux parties égales En effet, les obliques OA,OB, étant égales comme rayons, doivent s'écarter également du pied de la perpendiculaire OC; donc AC = CB et le point C est le milieu de AB. Cela posé, les cordes AD, DB, obliques s'écarlant également du pied C de la perpendiculaire, sont égales entre elles; donc l'arc AD = DB. Le théorème est donc démontré. Le rayon OD prolongé vers le haut de la figure, diviserait

farc AEB en deux parties égales; car la corde AË égalerait la 3orde EB.

. Remarque. Le diamètre ED, perpendiculaire à la corde AB, remplit inq conditions distinctes : ii est perpendiculaire à AB et passe par quatre points distincts et déterminés, 0, C, D^ E. Deux quelconques de ces conditions suffisant pour déterminer une droite, c'est-à-dire ne pouvant être remplies pai deux droites différentes, dès qu'on aura reconnu qu'une droite remplit deai ue ces conditions, on pourra affirmer qu'eile remplit les trois autres.

Ex. : La droite qui Joint les milieux des deux arcs sous-tendus par une eorde, est un diamètre perpendiculaire au milieu de eette corde.

Le rayon qui passe au milieu de Varc sous-tendu par une corde, e$t perpen^ diculaire au milieu de cette corde, et son prolongement va passer au milieu du second arc sous-tendu par cette corde.

Théorème.

1)2. Dans la même circonférence ou dans des circonférences égalesy deux cordes égales sont également éloignées du centre; et réciproquement»

AB = EL) ; je dis que 01 = OC. Pour le démontrer, je mène les rayons OE, OA, j'obtiens ainsi deux triangles rec* tangles OIE, OAC qui ont l'hypoténuse égale, OA = OE (rayons) ; et un côté de l angle droit égal. AC = El (moitiés de cordes égales) ; ces triangles ^ sont donc égaux ; par suite , le troisième côté OC de l'un égale le troisième côté 01 de l'autre; 0C = 0L C.Q.F.D.

Réciproquement, si on avait à priori, OC =01, on en conclurait régalité des mômes triangles rectangles AOC, OEl; d'où AC = lE; mais AG = i AB ; lE = î ED; donc AB = ED.

Théorème.

93. De deux cordes inégales^ la plus grande est la moins éloignée du centre; et réciproquement.

Soit la corde AB plus grande que la corde CD ; Tare AD'B est

plus grand que Farc CND (n* 89); nous pouvons donc prendre sur AD'B un arc AD' = CND. Tirons la corde AD', et abaissons sur AD' la perpendiculaire 01'; comme AD' = CD, la distance 01' = 01 (théorème précédent)). Cela posé, on voit immédiatement sur la figure que OE perpendiculaire