LITRE II
Tlftéorènie.
90. Si deux droites parallèles rencontrent une circonférence, elles interceptent des arcs égaux.
Il peut se présenter trois cas :
4' Les deux parallèles AB, CD sont sécantes.
Je mène du centre le rayon OR perpendiculaire à CD, et par ^ suite à sa parallèle ABj ce rayon divise les
■ ^^"^n^^^^ > ^ï'cs CKD, AKB, chacun en deux parties égales;
de sorte que
V y , CK = RD
V ^ * AR=KB.
D'où, par soustraction, CR — AR ou CA = KD — KB ou BD; AC=:BD, ce qu'il fallait démontrer. 2* Cune des parallèles est sécante et l'autre tangente. Soient ABy CD les deux parallèles proposées. Je joins le centre
au point de contact; le rayon OË est perpendiculaire à la tangente CD (94, â»), et par suite à sa parallèle AB; OE étant perpendiculaire à la corde AB divise Tare AEB en deux parties égales; donc ÂE = EB; ce qu'il fallait démontrer.
3* Les deux parallèles sont tangentes à la circonférence. Soient CD^ FR ces parallèles; menons à ces deux droites une parallèle AB qui coupe la circonférence; le rayon OE perpendiculaire à âB Test également à CD, et prolongé inférieuremcnt, Test aussi à FR; cette perpendiculaire commune aux deux tangentes allant du centre à chacune d'elles^ passe aux deux points de contact (95); c'est donc un diamètre qui divise la circonférence en deux parties égales EAH, EBH.
En rapportant ce cas au précédent, AB une fois menée, on au* rait pu dire : AE = EB; AH=BH; d*où, par addition, AE + AD ou EAH == EB + BU ou EBH.
Remarque. Deux tangentes parallèles ont leurs points de contact diamétralement opposés.
La réciproque est évidemment vraie.
EXERCICES
Théorèmes à démontrer.
43. Les droites AD, AC, tangentes i une circonrércnce en B et en G sont égales. Li droite AO qui joint A au centre est la bissectrice de l'angle BAC.
43. Les côtés opposés d'un quadrilatère circonscrit i une circonrérence ajoutés deux à deux donn'-nt des sommes égales.
44. On peut inscrir^ une circonférence dans un quadrilatère rempllssaot cette condition. (Cas du losange.) ^
45. On peut inscrire une circonférence dans un triangle donné quelconque ABC. On peut décrire trois autres circonférences, extérieures au triangle, touchant
chacune les trois côtés on leurs prolongements : ces circonférences sont dites e»inscritei au triangle.
/ 46. Chacun des segmenis déterminés sur lesxétés d'an triangle parles points de eontact de la circonférence inscrite est égal ai^érimètre du triangle diminué du côté opposé au sommet d'où part ce segment, . t
//47. La somme des diamètres du cercle inscrit et du cercle circonscrit à un trisagle rectangle est égale A la somme des côtés de l'angle droit. ^^ 48. La didtance d'un sommet d'un triangle au point de contact d'une df i otTcm férences esr-tfucrites qui touchent ses côtés ou leurs prolongements est égale a« demi-périmèire du triangle, ou A ce demi-périmètre moins un côté adjacent, suifant que le point de contact est ou n^est pas séparé du sommet en question par un autre sommet du triangle. r t \ /
49. Une circonférence étant tangente aux côtés d'un «fc^AG, si on lui mèneuoa troisième tangecte UN comprise entre le sommet A et la circonférence, le triangle AMN 4 uQ périmètre constant, quel que soit le point de contact. Si on joint le centre aux points M et N, l'angle BION est constant.
30. Lieu des points de départ des tangentes A une circonférence donnée égales A ane droite donnée.
34 . Lieu des points tels que les deux tangentes issues de chacun forment : 4* ua angle droit; S" un angle donné quelconque.
CONDITIONS DE l'iNTERSBGTTON ET DU CONTACT DE DEUX CERCLES.
Théorème.
+• 97. Deux circonférences ne peuvent se rencontrer en plus de deux points.
En effet, 1* elles ne sauraient avoir trois points communs, A, B, C, en ligne droite; car une ligne droite ABC ne peut rencontrer cha< cune des circonférences en plus de deux points (n® 81); 2» ces circonférences ne sauraient avoir trois points communs non en ligne droite ; car
Par trois points A, B, C, non en ligne droite., on peut toujours faire passer une circonférence j mais on n'en peut faire passer qu'une.
LTVnE It.
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Pour le démontrer, ayant mené les droîtes AB, BC, j'élève au
milieu de AB la perpendiculaire DE, et au milieu de BC la perpenciiculaireFG. Ces deux perpendiculaires DE, FG se rencontrent : car si elles étaient parallèles, la ligne CB perpendiculaireàFG,étant prolongée vers DR, serait perpendiculaire à sa parallèle DE; comme déjà BA est par construction perpendiculaire à DE^ il y aurait du même point B deux perpendiculaires BK^ BD^ sur la même droite DE; ce qui est impossible; donc DE et FG se rencontrent en un certain point Q. Le point 0, comme appartenant à DE^ est également distant de A et de B; OA=OB; ce môme point 0, appartenant à FG, est également distant de B et de G; OB = OC; OA = 0B= OC. Si donc du point comme centre, avec OA pour rayon, on décrit une circonférence, cette circonférence passera par les trois points A, B, C. On peut donc faire passer une circonférence par les trois points A, B, C^ non en ligne droite.
On pLen peut faire passer qu'une. En eflfet, le centre d'une circonférence quelconque passant par les trois points A, B, C, étant également distant des points A et B, doit se trouver sur la perpendiculaire DE élevée au milieu de AB (45) ; ce même centre, également distant deB et de C^ devra aussi se trouver sur FG; il doit donc se trouver en G, seul point commun à DE et à FG. Toute cir» conférence passant par les trois points, A^ B, C, a donc pour centre le point et le rayon OA=OB=OC; elle n'est donc autre que la circonférence que nous avons déjà décrite et indiquée.
98. Quand deux circonférences se coupent, la droite qui joint leurs centres (la ligne des centres) est perpendiculaire à la corde commune et la divise en deux parties égales.
En effet le point G également distant de M et de M' (GM == OxM')
se trouve sur la perpendiculaire au milieu de MM' (n* 45) ; il en est de même B du point 0' puisque O'M = O'M'. La perpendiculaire au milieu de MM' passant par et par 0', n'est autre que la droite 00'.
48 COURS DE GÊOMÊTIUE.
Définition. Deux points symétriques par rapport à une droite sont deux points situés sur une même perpendiculaire à cette droite^ à égales distances de cette ligne.
Ex. : Les points M et M' de la figure précédente sont symétriques par rapport à 00'.
Théorème.
99. Si deux circonférences ont un point commun M cTtin côté de la ligne des centres 0(y, elles ont un autre point commun M' de Vautre côté de cette ligne^ symétriquement placé.
Abaissons du point M la perpendiculaire Ml sur 0(f et prolongeons MI d'une longueur égale IM'. Tirons OM, OM', O'M, (XM' (tracez ces lignes sur la figure). L'oblique OM'=OM (n* 42, 2'); "la circonférence de rayon OM passe donc en M'. De même (XM = O'M'; la deuxième circonférence de rayon O'M passe aussi en U'. Le point M' est donc commun aux deux circonférences ; la proposition est démontrée.
Les points M et M' sont symétriquement placés par rapport à 00'. i- 100. DÉFINITION. Deux circonférences tangentes ou qui se tonchentj sont deux circonférences qui n'ont qu'un point de commun. Le point commun s'appelle point de contact.
Deux circonférences peuvent être tangentes extétieurement ou intérieurement comme le montrent nos figures.
Théorème.
101. Quand deux circonférences se touchent extérieurement ou intérieurement, le point de contact est sur la ligne des centres.
Eu effet, ce point ne saurait être hors de la ligne des centres^ puisque deux circonférences qui ont un point commun hors de la ligne des centres ont nécessairement un autre point commun de l'autre côté de cette ligne et sont sécantes (99). La réciproque est vraie :
