LIVRE II
de même rayon. On obtient ainsi un nombre qui exprime la mesure de rare; le même nombre exprime la mesure de l'angle proposé rapporté à Van g le droit.
Par exemple, si on trouve que Tare vaut les \ d'un quadrant, on en conclut que l'angle vaut les J d'un angle droit.
Les angles se mesurent ordinairement avec une demi-circonférence divisée appelée rapporteur dont nous parlons plus loin (page 59).
106. Pour faciliter l'évaluation des arcs de cercle, et par suite celle des angles, on divise la circonférence en 360 parties égales, nommés degrés : le degré ôe subdivise en 60 minutes, la minute en 60 secondes. Les degrés, minutes, secondes, s'indiquent ainsi : 2i" 43' AT; U degrés 43 minutes 47 secondes.
D'après cela, un quadrant est un arc de 90*,
Un nombre de degrés, minutes, secondes, désigne aussi bien un angle qu'un arc de cercle. On dit un angle de 90*" pour un angle droit, un angle de 19* comme on dit un arc de i9*; chacun comprend immédiatement qu'un angle de i9* est égal aux J-§ de l'angle droit (♦).
''^ 107. La désignation de la mesure de l'arc faisant ainsi connaître immédiatement, et sans qu'aucune explicotion soit nécessaire, la mesure de langle, on dit par abréviation :
Un angle a pour mesure tel arc désigné. Par exemple :
L* angle au centre d'une circonférence a pour mesure l'arc compris entre sps côtés.
On exprime simplement de cette manière Tégalité des nombres qui représentent Tangle et l'arc rapportés à leurs unités respectives, 1 108. Angles inscrits. On peut faire servir à la mesure d'un angle d'autres arcs que celui qui a pour centre le sommet de cet angle. Les théorèmes nue nous allons exposer à ce sujet sont surtout utiles pour la comparaison des angles d'une môme figure.
Un angle est dit inscrit dans un cercle quand il a son sommet sur lacirconlércnceetque ses côtés sont des cordes. Kx.: BAC (n® 109).
(*) On a l'habitude de dire que l'angle droit est l'unité des angles. Il serait plus exact de dire, d'après l'usage adopté de designer un angle par un nombre de degrés, minutes, «econd<'p, que l'unité des angles est Tangle d'un degré (quatre-vingt-dixième partie d'un angle droit).
cou s DE GÉOMÉTRIE.
Un polygone est dit inscrit à un cercle quand tous ses sommets sont sur la circonférence.
Une figure rectiligne est dite circonscrite à un cercle quand tous ses côtés sont tangents à la circonférence.
Théorème.
109. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié "^e Varc compris entre ses côtés.
11 peut se présenter trois cas :
1* Un des côtés passe par le centre. Ex. : l'angle BAC.
lirons BO; l'angle BOG extérieur au triangle BAO est égal à la
somme des deux angles intérieurs non adjacents A et B (n* 63). Mais BO étant égal à AO, l'angle A= B ; donc Tangle BOG = B+A=2A, et réciproquement Tangle A est la moitié de Tangle BOG. Mais BOG, angle au centre, a pour mesure l'arc BC intercepté entre ses côtés; donc Tangle A a pour mesure la moitié de BC. Parexemple^ si BG est un arc de 64% Tangle BAG est un angle de 32*.
2* Le centre est dans Tintérieur de Tangle. Ex. : l'angle BAD. Cet angle BAD est la somme des angles BAG, GAD qui sont dans
le premier cas; or BAG a pour mesure - BG j GAD a pour mesure
- GD; donc l'angle BAD a pour mesure 5 BG + - GD = - BD;
e'est-à-dire la moitié de l'arc compris entre ses côtés.
30 Le centre est en dehors de l'angle. Ex. : l'angle GAD.
Menons le diamètre AI. L'angle proposé GAD est la différence des angles GAI, DAI, qui sont dans le premier cas. GAI a pour mesure
- Gl; DAI a pour mesure - DI; donc CAD =
CAI — DAI a pour mesure ^^ "" 5 ^^^ = CD.
Notre théorème est donc vrai en général.
