LIVRE

1 10. Remarques et corollaires. SI Ton joint un point de Tare

.0^ qui limite un segment de cercle aux extrémités

D de la corde de ce segment^ on obtient ce qu'on

appelle un angle inscrit dans ce segment. Ex. :

AGB.

^ Tot*s les angles inscrits dans un même segment

de cercle sont égaux entre eux. Ex. : ACB, ADB.

En effet^ tous ces angles ont pour mesure la moitié du même

arcAEB.

Tous les angles inscrits dans un demi^cercle sont des angles droits. En effets ils ont pour mesure la moitié d'une demi-circonféreuce, ou un quadrant.

Tous les angles inscrits dans un segment ACDBplus grand qu^un demi-cercle sont aigus, Ex. : ACB^ ADB.

En effets l'arc AEB qu'ils interceptent, étant moindre qu'une

demi-circonférence, - ÂEB, mesure commune de ces angles, est

moindre qu'un quadrant.

Tous les angles inscrits dans un segment AEB plus petit qvfun demi-cercle sont obtus.

En effet, l'arc ACB, qu'ils interceptent étant plus grand qu'une

demi-circonférence, - ACB, mesure de AEB^ est plus grand qu'un

quart de la circonférence.

Les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle valent ensemble deux droits, sont supplémentaires. Ex. : dans le quadrilatère inscrit ACBE, on a C+ E = 2 droits.

En effet, la mesure de C est - AEB, celle de E est •- ACB; la

somme C+Esl pour mesure - (AEB -|- ACB), c'est-à-dire une

demi-circonférence qui est la mesure de deux droits. La réciproque de cette position est vraie {Exercice 24).

f EXERCICES*

Théorèmes à démontrer,

S4. On peut circonscrire une circonTérence à uu quadrilatère dont let angles opposés soûl supplémeulaires ; autrcmcui dit, ce quadiilaiùre est itucriptibte Uaus une circonrérence.

95. Un trtpèie iioeèle est inscriptible dans une circoofèrence.

96. En Joignant le milieu d'un arc BG aux extrémités d'nne corde DE par de* droites qui traTersent la corde BC» on forme deux triangles éqnianglet entre eux el un quadrilatère inscriptible.

Théorème.

i- 1 1 i . L angle formé far une corde et une tangente a pour mesure la moitié de F arc compris entre ses côtés. Ex. Tangle GDB = - CD.

Pourledémontrer^je trace le diamètre DM; il est perpendiculaire j^T à la tangente AB. On a CDB=MDB— MDC;

^^\ or l'angle droit MDB a pour mesure un

\ ^ quadrant qui est la même chose que la ^ yj moitié de la demi-circonférence MCD;

^ — B MDB = 5 MCD; l'angle inscrit MDC a pour mesure - MC; donc Tangle GDB = MDB — MDG a pour mesure

iMCD-|MCou-DC.

On prouverait de même que Tangle ADC a pour mesure - DMC.

Tliéorème.

112. Un angle qui a son sommet dans Vintérieur d'un cercle a pour mesure la moitié de Varc compris entre ses côtés, plus la moitié de Varc compris entre leurs prolortgements.

Soit, par exemple, Tangle AOB. Tirons CA; l'angle AOB, exté-

c^ ^p rieur au triangle AOC, est égal à la somme des

angles intérieurs non adjacents A et C^ qui sont inscrits dans le cercle. L'angle C a pour me-

sure - AI); l'angle A a pour mesure - CD; donc 2 2

AOB=C+A a pour mesure - AB-j- - CD.