LIVRE If

peut pas prolonger y on élèverait une perpendiculaire à cette droite

en un autre point quelconque; puis on mènerait par le point C

une parallèle à cette perpendiculaire, à Taide de i'équerre (120).

On peut aussi opérer comme il suit : du point pris quelcon-

: que au-dessus de CB comme centre,

avec le rayon OC, on décrit une H^ ^ circonférence qui rencontre la droite

donnée en G et en E; on mène le diamètre EOH, puis on tire GH^ qui est K - B la perpendiculaire demandée. En effet, l'angle HGË, inscrit dans un demi-cercle, est un angle droit. Emploi de; Péquerre, Quelque part que soit le point donné C, ou simplifie la construction en employant une équerre vérifiée exacte. Plaçant le sommet de Tangle droit de Téquerre en G, on fait coïncider l'un des côtés de cet angle avec la droite donnée; puis on tire le long du second côté une ligne, qui est évidemment la perpendiculaire demandée.

Mais, nous le répétons, il faut pour opérer ainsi une équerre \érifiée.

Problème.

124. Abaisser d'un point C, donné hors d*une droite AB, une perpendiculaire à cette ligne»

Du point donné G comme centre, avec un rayon suffisamment

grand, on décrit un arc de cercle qui rencontre la droite AB en deux points D, E; de D comme centre, avec un rayon plus grand que la moitié de DE, y'E B on décrit deux arcs de cercle, l'un audessus, l'autre au-dessous de AB; puis lu de E comme centre avec la môme ouver-

'^ ^ * turc de compas, on décrit deux autres

arcs de cercle qui rencontrent les premiers en I et en H; on tire IH. Les points l, H étant également distants de D et de E, la droite IH est une perpendiculaire à DE en son milieu, et par suite perpendiculaire à AB ; elle passe d'ailleurs par le point G également distant de D et de E.

Emploi de réquerre. On simplifie ia construction en employant réquerre, pourvu que ce soit une équerre vérifiée.

On dispose l'équerre de manière que l'un des côtés de Tangle droit glissant sur AB, l'autre vienne passer par le point C; alors en tirant une ligne le long de ce second côté, on a la perpendiculaire demandée.

Problème,

125. Décrire une circonférence qui passe par trois points donnés. Ce problème est complètement résolu^ page 45, n® 97. Circonscrire une circonférence à un triangle donné ABC. C'est le même problème ; on doit faire passer une circonférence par les trois points donnés A, B, G, non en ligne droite. Ayant mené les perpendiculaires FO^ 10 au milieu de AB et A au milieu de AG, nous avons fait voir que

OB=OA=OG. De OB=OG on conclut que le point appartient à la perpendiculaire élevée au milieu du troisième côté BG. De là ce théorème : les perpendiculaires élevées aux milieux des trois côtés d'un triangle concourent au même point.

Problème.

ff ..y.

1 tO. Inscrire une circonférence dans un triangle donné» Je suppose, le problème résolu; soient le centre de la circonférence deman*

dée, E, I^ D, ses points de contact avec les trois côtés du triangle. Les lignes OE, 01, OD, sont des perpendiculaires à AB, à AC^ et à BC, égales entre elles comme rayons. Le centre de la circonférence à construire est donc également distant de AB et de AG; il doit se trouver sur la bissectrice de l'angle BAC (48) ; je mène cette bissectrice AO (122). Ce même point devant être

également distant des lignes AB, BC, se trouve sur la bissectrice de l'angle

ABC; je mène cette bissectrice BO. Les deux bissectrices se rencontrent en 0;

abaissons de les perpendiculaires CI, CE, OD. étant sur AO, on a 01=0E; étant sur OB, on a 0K=0D; donc 0I=0E=0D. De comme centre. Je

décris une circonférence avec OE pour rayon; cette circonférence touche érl*-

demment les trois côtés aux points E, I, D.