LIVRE

C'est la seule dreonfërence qu*on piuisse inscrire; en effet, 11 résulte du raisonnement que nous avons fait en commençant, que toute circonférence Inscrite ne peut avoir pour centre que le point commun aux bissectrices, lequel est unique.

Remarque. I^ point de rencontre des bissectrices ÂO, BO, étant tel que 01 = OË=OD, à cause de OI=OD, se trouve sur la bissectrice de Tangle B(iA : donc les bissectrices des trois angles d'un trinnqle concourent au même foint.

En prolongeant chacun des côtés du triangle dans les deux sens, et considérant les espaces tels que HBCK, on volt, en y mettant les bissectrices de IIBC et de KGB (qui rencontrent au même point ÂO prolongée), qu'on peut inscrire dans chacun de ces espaces une circonrérence tangente à la fois aux trois lignes BC, AC, AB prolongées indéfiniment. 11 y a trois espaces de ce genre en dehors du triangle ABC ; on peut donc décrire quatre circonférences tangentes à trois droites AB, AC, BC, qui se coupent deux à deux* Les trois dernières indiquées sont dites ex-inscrites au triangle ABC.

Problème.

127. Mener une tangente à une circonférence par un point A donné sur cette circonférence.

Il suffit évidemment de joindre le centre au point donné A, et de mener une perpendiculaire à rexlrémitc de ce rayon OA (à l'aide du compas ou de Téquerre).

Problèsne.

128. Par un point A, extérieur à un cercle^ mener une tangente i sa circonférence^

Je joins le point A au centre 0, puis je divise la droite OA en

, - .,^ deux parties égales; du milieu l

^^^^ - \ comme centre, avec le rayon 10= lA,

K^ / NT ^^,^^^^ \ je décris une circonférence qui ren-

( qÎ ) — ..^»^^^;^:A contre la circonférence donnée en

V "^ 2>'^"^''''^ ^ ^ ^^ ^" ^" ^^ ***^® ^^' ^^' chacune ^!^>=^\G / de ces lignes est tangente à la circon-

***-- --'' férence donnée.

En effet, si l'on mène le rayon OB, on forme un angle OBA qui est droit, car il est inscrit dans une demi-circonférence (110); la droite AB perpendiculaire à l'extrémité du rayon OB est une tangente menée de A à la circonférence donné 0, Il en est de mémn de la ligne AC. , ,'',!' ^ i ^ ^ i

AB et AC sont les seules tangentes qu'on poisse mener da point A à eette circonférence. En effet, une tangente issue de A et le rayon qui va du centre au point de contact forment un angle droit, dont le sommet doit être à la fois sur la circonférence de diamètre OA et sur cire. 0. Le point de contact devant être sur ces deux circonférences, il n'y a que deux tangentes possiblcp, j^uisque ces deux circonférences n'ont que deux points communs.

Froblème.